Matematické Fórum

simonaj1

tak než půjdu dnes spát, hodím sem pro ty co žijí matikou až po půlnoci něco ke kontrole, snad se najde dobrá duše:-) nejsem si jista výsledkem, který mi vyšel
${\lim}\limits_{x \to \0}{\frac{x-arcsinx}{x^3}}$ rozepisovat výpočet sem zatím nebudu protože jsem tam derivovala 3x za sebou, takže by toho bylo moc, ale mám výsledek $\frac16$

předem díky

jarrro · 14. 07. 2009 23:21 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 11:52)

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{x-\mathrm{arcsin}{x}}{x^3}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{-x\cdot\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}}{6x}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{-\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}-3x^2\cdot\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{2}}}{6}}=-\frac{1}{6}$

simonaj1 · 15. 07. 2009 05:52

↑ jarrro:jsem to ale tele, odložila jsem si tu -1 na začátku druhé derivace stranou, aby se mi tam nemotala a pak jsem na ni zapomněla:-/
mimochodem, moc se mi líbí ty tvoje zápisy, kdy dělení zapisuješ jako násobení... asi se s tím pak líp pracuje?... zkusím to

a díky:-)

kaja(z_hajovny) · 15. 07. 2009 08:15

↑ jarrro:
misto toho posledniho l'hopitalova pravidla se dalo zkratit x !

jarrro · 15. 07. 2009 10:09 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 11:56)

↑ kaja(z_hajovny):hej vidím to teraz som nerozmýšľal vtedy len som implementoval simonin návrh $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{x-\mathrm{arcsin}{x}}{x^3}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{-x\cdot\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}}{6x}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{-\cdot\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}}{6}}=-\frac{1}{6}$
↑ simonaj1:áno lepšie sa stým pracuje aspoň mne a hlavne sa to ľahšie TeXuje

Rumburak

Také se dá použít substituce arcsin x = y, takže x = sin y (tím se vyhneme nepříjemné práci s výrazem vzniklým derivací fce arcsin):
${\lim}\limits_{x \to \0}{\frac{x-\arcsin x}{x^3}} = {\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\sin y \,\,- \,y}{\sin^3 y}} = {\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\sin y \,\,- \,y}{y^3}} \,\frac {y^3}{\sin^3 y}$ ,
limita druhého zlomku je 1 , snadno to plyne ze známého vzorce
${\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\sin y}{y}} = 1$ ,
limitu prvního zlomku rovněž převedeme na tento vzorec, a to dvojnásobným použitím l'Hospitalova pravidla, které je zde početně velmi jednoduché.

simonaj1 · 15. 07. 2009 11:03

↑ Rumburak:substituci za arcsinx = z jsem také zkoušela, ale nějak jsem se do toho šíleně zamotala:-) takhle když to vidím, vypadá to hezky, díky

simonaj1 · 15. 07. 2009 11:11

↑ Rumburak: zkoušela jsem to počítat a výsledek mi vyšel -1... což se ale neshoduje s tou -1/6 od jarrro takže asi zas někde dělám chybu

Rumburak · 15. 07. 2009 11:20

↑ simonaj1:
Spočítám výše naznačeným způsobem limitu prvního zlomku (s tím druhým je to snad jasné):
${\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\sin y \,\,- \,y}{y^3}} ={\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\cos y \,\,- \,1}{3y^2}} ={\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{-\sin y}{3.2y}} = - \frac {1}{6} \, {\lim}\limits_{y \to \0}{\frac{\sin y}{y}}$ .

simonaj1 · 15. 07. 2009 11:52

↑ Rumburak:omlouvám se, uteklo mi to na druhou u toho y ve jmenovateli:-/

simonaj1 · 15. 07. 2009 11:58

↑ Rumburak:ještě tady k tomu... moc se mi líbí jak to roznásobujete těmi "šikovnými jedničkami", ale já jsem asi fakt kopyto, páč prostě nevidím, v jakém tvaru tam tu jedničku strčit...

Rumburak

↑ simonaj1: Je potřeba dvě věci:
1) mít povědomost o těch "chytrých jedničkách" (nebo v některých případech "chytrých nulách"),
2) umět dopředu odhadnout, co tam bude vhodno použít.

Chce to praxi a samozřejmě také znát základní teorii. Mohu-li poradit, tedy zde je několik doporučení:

1. Je dobré začít temi nejjednoduššími úlohami, ujasnit si na nich odpovídající teorii a postupně se tak propracovávat k úlohám složitějším.

2. Když Ti někdo druhý ukáže, jak úlohu řešit, nespokoj se s tím, že si ten postup mechanicky zapamatuješ, ale snaž se mu porozumět
do nejmenšího detailu, tak, aby když se ta úloha vynoří příště, ses už nemusela spoléhat na paměť, ale jen na vlastní úsudek.

3. Při studiu teorie se pozorně nauč každou potřebnou definici a snaž se přesně porozumět jejímu smyslu. Když se pak s příslušným pojmem,
jehož definici sis nastudovala, setkáš později, měla bys být schopna si tu definici přesně vybavit.

4. U každé poučky či vzorce se snaž přesně porozumět tomu, co říká, a pokus se sama si to odvodit nebo dokázat, a pokud se Ti to nepodaří,
což zpočátku nejspíše bude pravidlem, pak si odvození či důkaz nastuduj z literatury, tak, abys byla schopna ho samostatně provést
na základě vlastní úvahy a nikoliv jen podle paměti.

5. K obtížnějším problémům se vracej, dokud v nich nebudeš zcela "doma".

6. Všechny výpočty i úvahy prováděj písemně pomocí matematické symboliky.

7. Mnoho lidí se ptá "K čemu je ta která partie matematiky dobrá v životě?". Tato otázka, ač z filosofického pohledu správná,
není ke studiu matematiky nezbytná. Zcela stačí vnímat matematiku jen jako hru s určitými symboly podle určitých pravidel,
podobně jako třeba dnes populární hru sudoku (jejímž otcem byl slavný švýcarský matematik XVIII. století Leonhard Euler, do Evropy se
v dnešní době znovu dostala přes Japonsko). Tento přístup má pro začátečníka dokonce svoji výhodu - v tom, že naši mysl osvobozuje
od některých intuitivních představ vypěstovaných "praktickým živoem", které by zejména při studiu abstraktnějších partií matematiky
byly na překážku.

Matematické Fórum

#1 14. 07. 2009 22:46 — Editoval simonaj1 (14. 07. 2009 22:47)

limita arcsin

#2 14. 07. 2009 23:21 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 11:52)

Re: limita arcsin

#3 15. 07. 2009 05:52

Re: limita arcsin

#4 15. 07. 2009 08:15

Re: limita arcsin

#5 15. 07. 2009 10:09 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 11:56)

Re: limita arcsin

#6 15. 07. 2009 10:55 — Editoval Rumburak (15. 07. 2009 10:57)

Re: limita arcsin

#7 15. 07. 2009 11:03

Re: limita arcsin

#8 15. 07. 2009 11:11

Re: limita arcsin

#9 15. 07. 2009 11:20

Re: limita arcsin

#10 15. 07. 2009 11:52

Re: limita arcsin

#11 15. 07. 2009 11:58

Re: limita arcsin

#12 15. 07. 2009 14:08 — Editoval Rumburak (15. 07. 2009 16:10)

Re: limita arcsin

Zápatí