Matematické Fórum

Pavel 09 · 16. 07. 2009 00:36

Prosím o vysvětlení, dekuji.
Krasobruslař se otáčí kolem své osy se stálou frekvencí 2Hz přičemž jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace je 2kg.m2, O kolik se zmenší frekvence otáčení jestliže krasobruslař rozpažením rukou zvětšil moment setrvačnosti na 2,1kg.m2?

CzechMan

Vloudilo se sem špatné řešení :) Přesto jsem ho zde nechal pro pokochání se hloupostí.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 16. 07. 2009 09:40

↑ CzechMan:

Tohle není dobře, energie se nezachovává. Zachovává se moment hybnosti $L=J\omega$ .

(Že se nezachovává energie je např. dobře vidět při opačném pohybu, když se krasobruslař točí s roztaženýma rukama a chce je přitáhnout k tělu. Musí vykonat práci, aby je k tělu dostal. O tuto práci se zvětší jeho kinetická energie.)

Rumburak

↑ BrozekP: Zdravím.
Doplním jednu svoji domněnku s prosbou o potvrzení případně vyvrácení:
Hmotný bod obíhající okolo osy má vedle své kinetické enegie dané jeho hmotností a oběžnou rychlostí též jistou energii potenciální,
která je dána odstředivou silou působící na tento bod. Tato síla může konat práci třeba tím, že přetrhne závěs, jímž je bod upevněn k ose.
Započítáme-li i tuto energii, pak by snad zákon zachování energie platit měl (?)

EDIT: Je to vlastně vysvětleno na příkladu krasobruslaře, který během piruety připaži, ale už to tu nechám. Každopádně je mi jasné,
že počítat daný příklad přes zákon zachochování energie by bylo dosti neschůdné.

CzechMan · 16. 07. 2009 11:50

↑ BrozekP:
Kde jsem jen dal hlavu, asi tou nocí, samozřejmě máte pravdu.

Pavel Brožek · 16. 07. 2009 12:47

↑ Rumburak:

Jak píšeš, v rotující soustavě by na hmotný bod působila odstředivá síla $F_{\textrm{od}}=m\omega^2 r$ (ostatní síly nemusíme uvažovat, protože nekonají práci). Potenciální energie by tedy byla

$E_{\textrm{p}}=\int m\omega^2 r\,\textrm{d}r$ .

Po chvilce počítání a hlavně po použití zákona zachování hybnosti $L=mr^2\omega$ dostaneme $E_{\textrm{p}}=-\frac12J\omega^2$ , což se dalo čekat. Pak platí i zákon zachování energie $E_{\textrm{p}}+E_{\textrm{k}}=0$ (nula díky volbě nulové hladiny potenciální energie).

Nenapsanou (ale zřejmou a nutnou) součástí zadání je, že na soustavu nepůsobí moment síly. Z Newtonových zákonů pak plyne zákon zachování momentu hybnosti. Pokud bychom chtěli spočítat úlohu bez použití zákona zachování momentu hybnosti, tak bychom se pouze vyhýbali vyslovení toho, že platí zákon zachování momentu hybnosti, stejně ale někde musíme použít to, že moment síly je nulový.

Rumburak · 16. 07. 2009 13:51

↑ BrozekP:
Děkuji, to je přesně to, co jsem si potřeboval dovyjasnit.

Pavel Brožek · 16. 07. 2009 19:12

↑ Pavel 09:

Jak jsem napsal, platí zákon zachování momentu hybnosti, čili

$L=J_1\omega_1=J_2\omega_2$ ,

kde $J$ je moment setrvačnosti a $\omega$ je úhlová rychlost, indexy 1 se vztahují na stav před rozpažením a 2 po rozpažení. Určíme tak

$\omega_2=\frac{J_1}{J_2}\omega_1$

Využijeme $\omega=2\pi f$ .

$2\pi f_2=\frac{J_1}{J_2}2\pi f_1\nl f_2=\frac{J_1}{J_2}f_1$

Rozdíl je

$\Delta f= f_1-f_2=f_1-\frac{J_1}{J_2}f_1=f_1$1-\frac{J_1}{J_2}$$

Stačí dosadit...