Matematické Fórum

Ahoj,
může být uspořádaný okruh konečný?

↑ Eratosthenes:
Nevím, ale mohlo by. Protože všechny okruhy, které nejsou obory integrity a které mě napadají, jsou konečné, např. Z6.
A tu uspořádanost si představuju tak, že se ten okruh rozdělí na "kladné" a "záporné" prvky, a pokud by okruh byl konečný, tak si myslím, že bys najednou po přičtení 1 skočil z kladných do záporných a to už vypadá skoro jako spor s nějakým axiomem, asi  s a+b je z P....

A co takový okruh polynomů (třeba Z[x]) - je ten uspořádaný?

A ty okruhy, o kterých se bavíme, musí být komutativní? Protože teď jsem koukal na definici oboru integrity a z nějakého důvodu požadují, že okruh musí být komutativní. No ale třeba půjde dokázat, že když ten okruh jde uspořádat, že je komutativní...

Ale vlastně i okruh komplexních čísel nejde uspořádat a má nekončný prvookruh....

Okruh polynomů by měl být uspořádaný - do množiny P stačí vložit právě ty polynomy, které mají kladný vedoucí koeficient, a nulu.

↑ check_drummer:

Našel jsem obecnější (a jednodušší) definici uspořádaného okruhu - zde a zde. 

Má to míň axiomů a je to obecnější, protože to zřejmě připouští neúplné uspořádání, což moje definice ne (mám dokázáno, že z mojí definice plyne úplnost - ještě se na to podívám, jestli tam nemám nějakou chybu, ty polynomy mě dost znejistěly). Mimochodem - v bodě b) mojí definice je třetí konjunktant zbytečný :-)

Možná by bylo dobré převzít tyto definice, ale chtělo by to vymyslet příklad částečně uspořádaného okruhu - možná zrovna ty polynomy s vedoucím koeficientem - takové uspořádání by bylo uplné, až kdyby se nějak porovnávaly všechny koeficienty.

A dokázat naopak, že z úplného uspořádání plyne ta nezáporná část. Tu ale mají zřejmě i ty polynomy, takže mám někde něco blbě...

To jsem se tedy zase do něčeho pustil...

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ale polynomy lze taky uspořádat, třeba lexikograficky.

Jasně, o tom jsem mluvil. To by mohl být příklad při té obecnější definici: Pokud bychom porovnávali jen první člen, pak částečně uspořádaný okruh, pokud všechny, pak úplně uspořádaný. Jde teď o tu komutativitu - zda a jak plyne z toho uspořádání.

A pokud obor integrity bazíruje na té komutativitě - vymyslet okruh bez dělitelů, ale nekomutativní, což by pak nebyl obor integrity a ta komutativita v definici by dávala smysl (možná ty kvaterniony).

↑ check_drummer:

No, našel jsem to v nějakých svých starých sešitech nejspíš ještě ze školy, takže bych řekl, že to platí (i když...:-)  Každopádně bych to rád buď dokázal, anebo vyvrátil. Je zajímavé, jak málo je k této problematice k nalezení, i když je uspořádání na těchto strukturách, myslím, docela důležitá věc...

bez dodatocnych predpokladov to neplati, protipriklad mozu byt cele cisla so standardnym scitanim kde P su nezaporne cele cisla a nasobeenie je definovane tak, ze sucin lubovolnych dvoch prvkov je 0.

EDIT: dokonca keby sme uvazovali aj okruh s jednotkou tak to podla mna neprejde; protipriklad [mathjax]Z[x] / x^2[/mathjax] t.j. polynomy s celociselnymi koeficientami, pricom [mathjax]x^2=0[/mathjax]. Cize vyrazy tvaru [mathjax] a+bx; a,b\in Z [/mathjax]. Je to okruh s jednotkou, nie je to obor integrity, lebo [mathjax]x^2=0[/mathjax]. Konzistentne usporiadanie by malo byt lexikograficke; t.j. [mathjax]a+bx\in P \Leftrightarrow a>0 \lor(a=0 \land b\ge 0)[/mathjax]. Ale treba skontrolovat ci som sa nepomylil.

Brano napsal(a):

↑ Eratosthenes:
podla mna to P v povodnom prispevku definuje totalne usporiadanie, lebo bud a-b je z P alebo b-a.
.

Přesně tak mám definováno uspořádání: [mathjax]a\le b\Leftrightarrow b-a\in P[/mathjax] a úplnost dokázanou tím, co píšeš: [mathjax]\forall a,b: a-b\in P \vee b-a\in P[/mathjax]

>> bez dodatocnych predpokladov to neplati.

Já jsem se pořád snažil přijít na něco, co ty dělitele vyloučí, protože nějaký protipříklad jsem hledal marně.

>> protipriklad mozu byt cele cisla so standardnym scitanim kde P su nezaporne cele cisla a nasobeenie je definovane tak, ze sucin lubovolnych dvoch prvkov je 0.

Toto je přesně ono, díky moc :-)

Nechám ještě otevřeno pro nějaké případné další postřehy.