Matematické Fórum

ThomasxD · 07. 10. 2024 20:39

Zdravím lidi, možná se mi budete smát (pokud budou příklady jednoduché), ale trošku v tom tápu. Jedná se o předmět Fyzika 2 kombi. studia (takže samostudium, poněvadž ty 2 přednášky opravdu nestačily) a tyto příklady máme na zápočet (vybere stejné, jen změní hodnoty), proto bych Vás touto cestou rád požádal o pomoc. 40 příkladů jsem vypočítal sám, bohužel u pár si nevím rady. Budou Vám vděčný za jakoukoliv snahu, ochotu a vstřícnost.

1) Na mřížku s počtem vrypů 300 na milimetr dopadá kolmo rovnoběžný svazek bílého světla. Ohybový jev pozorujeme ve vzdálenosti 3 m od roviny mřížky. Určete vzdálenost prvních maxim střední modré barvy (hodnotu získejte z tabulek). Výsledek by měl být x=81,75 cm.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:
Já jsem se dostal do tohoto bodu:

b = \frac{10^{- 3}}{300} = 3, 33 \cdot 10^{- 6}

s i n α_{K} = \frac{k \cdot λ}{b} = \frac{1 \cdot 4, 70 \cdot 10^{- 7}}{3, 33 \cdot 10^{- 6}} => α_{K} = 2, 46 \cdot 10^{- 3}

Takže nesmysl 470 jsem si určil jako vlnovou délku modrého světla.

2) Určete hmotnost elektronu při rychlosti, kterou dosáhne, když projde potenciálovým rozdílem 100kV.

Výsledek by měl být:

m_{e} = 1, 088 \cdot 10^{- 30} k g

3) Elektron urychlený potenciálovým rozdílem 1 GV (blesk) letí ve směru výšky mrakodrapu, který má 300 m. Jak „vysoký“ je pro něj mrakodrap?

Výsledek by měl být:

h = 0, 1534 m

4) Určete grupovou rychlost mořských vln, je-li jejich fázová rychlost (

g λ / 2 π

)

Výsledek by měl být:

v_{g} = \frac{1}{2} \sqrt{g λ / 2 π}

5) Poslední - Stanovte neurčitost rychlosti pro proton a elektron, je-li každý z nich uzavřen v oblasti s lineárním rozměrem 1 nm.

Výsledek by měl být:

Δ v_{p} = 63 m / s

a

Δ v_{e} = 115886 m / s

Velmi Vám předem děkuji za každou ochotu a inciativu mi v tomto pomoci. :-)

Přeji krásný zbytek večera.

ThomasxD

K tomu druhému příkladu mě logicky napadlo srovnat $△ E_{k} = △ W$ pak dostanu $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e U$ z čehož jde odvodit hmotnost elektronu, ale neznám rychlost.

MichalAld · 09. 10. 2024 14:58

Příklady nejsou těžké na spočítání, ale když neznáš tu teorii ke které se vztahují, tak vůbec nebudeš vědět, co vlastně počítáš.

Příklad 2 - elektron získá při průchodu tím el. polem energii $Δ E = q \cdot U$ .
Aby se úlohy snadněji řešili, byla dokonce zavedena jednotka energie elektronvolt. Takže při průchodu polem o napětí 100kV získá elektron energii 100 keV (100 kilo-eleltronVoltů).

Stačí to převést na Jouly (nebo to spočítat přímo v Joulech), a pak využít relativistického vztahu $E = m c^{2}$ , případně tedy rovnou $Δ E = Δ m \cdot c^{2}$

Příklad 3 - začíná stejně jako příklad 2, elektron získá energii 1GeV. Z toho musíme určit rychlost, to je trochu komplikované, musí se použít relativistický vztah pro energii, tuším

$E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2} = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} c^{2} - m_{0} c^{2}$

a když určíme rychlost, tak zase použijeme relativistický vzorec pro kontrakci délek

$L = L_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Předpokládám, že v tomto případě není třeba určovat přímo rychlost v, stačí když určíme hodnotu výrazu $\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

ThomasxD · 09. 10. 2024 17:06

Děkuji moc za pomoc, ale buď jsem "jelimán", nebo jsem úplně mimo, co se týče početních operací výpočtu Joulů.

U 2. příkladu: $△ E = q U = 1, 602 \cdot 10^{- 19} \cdot 100000 = 1, 602 \cdot 10^{- 14}$

$△ E = m_{e} c^{2} => m_{e} = \frac{△ E}{c^{2}} = \frac{1, 602 \cdot 10^{- 14}}{9 \cdot 10^{16}} = 1, 78 \cdot 10^{- 31}$

Výsledek rozličný s uvedeným od profesora.

U 3 příkladu jsem vycházel z toho, co si mi napsal a také z tohoto odkazu:

https://reseneulohy.cz/1054/relativisti … ka-energie

Takže mi vyšlo, že: $v = o d m (\frac{2 E_{k_{}}}{m_{e}})$

Práce vyšla:
$E_{k} = q U = 1, 602 \cdot 10^{- 19} \cdot 10^{9} = 1, 602 \cdot 10^{- 10}$

Po dosazení s odmocninou mi rychlost vyšla: $1, 8755 \cdot 10^{10}$

Když jsem to dal do vztahu, který si mi poslal s kontrakcí délek, vyšel mi podíl pod odmocninou záporný.

Je možné, že počítám práci blbě a proto mi to nevychází.

Každopádně Michale děkuji za pomoc k těmto 2 příkladům, vážím si toho.

Mirek2 · 09. 10. 2024 17:50

↑ ThomasxD:

Ahoj,

2. vzorec je $Δ E = Δ m c^{2}$ , proto hodnota, která Ti vyšla, je $Δ m$ , čili přírůstek hmotnosti elektronu - nikoli hmotnost elektronu, tu je potřeba ještě vypočítat.

Mirek2 · 09. 10. 2024 18:22

↑ ThomasxD:

3. Myslím, že výraz $v = o d m (\frac{2 E_{k_{}}}{m_{e}})$ není dobře, vychází mi složitější.

ALE - jak píše MichalAld - rychlost znát nepotřebujeme.
Můžeme vyjít ze vztahu pro energii letícího elektronu, která se rovná klidové energii elektronu + jeho kinetické energii:

$E = E_{0} + E_{k}$

V tomto případě $E_{k} = e U$ , tedy

$m c^{2} = m_{0} c^{2} + e U$

a sem dosadíme

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Z rovnice, kterou takto získáme, vyjádříme odmocninu $\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$
(není potřeba ji počítat, jen vyjádřit)

a dosadíme ji do vztahu pro $L = L_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ .

Mirek2 · 09. 10. 2024 18:48 — Editoval Mirek2 (09. 10. 2024 18:48)

↑ ThomasxD:

4. Podle učebnice je fázová rychlost vln na moři

$c = \sqrt{g λ / 2 π}$ .

Grupová rychlost je definována jako derivace

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}$ ,

kde $k$ je vlnový vektor (= úhlový vlnočet), $ω$ je úhlová frekvence a obecně platí:

$k = \frac{ω}{c} = \frac{2 π}{λ}$ .

Postup bude takový (pouhé dosazování a nakonec jedna derivace):

1. Zadaný výraz pro pro fázovou rychlost upravit tak, aby místo $λ$ obsahoval $k$ .

2. Najít vzorec pro úhlovou frekvenci $ω$ , který bude obsahovat $k$ .

3. Vypočítat grupovou rychlost jako derivaci (viz výše).

Mirek2 · 09. 10. 2024 18:57

↑ ThomasxD:

5. Pomocí relace neurčitosti, v níž hybnost rozepíšeme jako součin hmotnosti a rychlosti.
http://www.realisticky.cz/ucebnice/02%2 … itosti.pdf

ThomasxD · 09. 10. 2024 19:10

A děkuji Mirku i Michale za pomoc, velmi si ji vážím! A klobouk dolů před Vaším přístupem.

Všechny příklady až na ten 1 s těmi vrypy a posledním (viz. můj příspěvek nad tímto) vyřešeny.

Máte moji obrovskou poklonu a zasloužíte si uznání! :-)

MichalAld

ThomasxD napsal(a):
↑ Mirek2:

Děkuji, když jsem použil vzorce, které si mi poslal, tak mi vyšly u obou rychlostí poloviční hodnoty.

$△ v_{p} = \frac{h}{4 π m_{p} \cdot 10^{- 9}} = 31, 5245 m / s$

$△ v_{e} = \frac{h}{4 π m_{e} \cdot 10^{- 9}} = 57883, 818 m / s$

Kdybych to vynásobil 2, tak to vyjde. :-D

Jestli to není tím, že neurčitost polohy je jen polovina rozměru té krabice, protože neurčitost je plus minus.

Takže neurčitost polohy $Δ x = 0.5 n m$ znamená $Δ x = \pm 0.5 n m$ a to odpovídá té krabičce o velikosti 1nm, se středem uprostřed.

Ono teda s rovnítkem platí ten princip neurčitosti jen pro Gaussovo rozdělení, pro všechna ostatní je tam >=.

ThomasxD · 10. 10. 2024 22:43

↑ MichalAld:

Pecka teď už to dává smysl. Děkuji moc! Za všechno.

Teď už zbývá jen ten první, stále bádám, a na nic nepřicházím, vychází mi sinus 0,1414 a to je hrozně malé číslo...

MichalAld · 13. 10. 2024 10:28

$s i n α_{K} = \frac{k \cdot λ}{b} = \frac{1 \cdot 4, 70 \cdot 10^{- 7}}{3, 33 \cdot 10^{- 6}} => α_{K} = 2, 46 \cdot 10^{- 3}$

Ještě jsem koukal na tu mřížku, teda, a můžeš mi říct, jak jsi tohle vlastně počítal? Pro malé x platí přibližně sin x = x,

MichalAld · 13. 10. 2024 10:37

ThomasxD napsal(a):
↑ MichalAld:

Pecka teď už to dává smysl. Děkuji moc! Za všechno.

Teď už zbývá jen ten první, stále bádám, a na nic nepřicházím, vychází mi sinus 0,1414 a to je hrozně malé číslo...

Jo, tohle mi vyšlo taky. Ale to je úhel, nebo tedy sinus úhlu. Ty máš určit vzdálenost na stínítku 3m dalekém, takže krát 3m davá 0.4242m. Proč je to zase polovina očekávaného vypsledku už nechávám na tobě.

ThomasxD

↑ MichalAld:

Tak jsem na to sedl a vyšlo mi to.

$λ = 450 n m = 4, 5 \cdot 10^{- 7} m$

$a = \frac{10^{- 3}}{300} = 3, 333 \cdot 10^{- 6}$

$α = a r c s i n \frac{k λ}{a} = a r c s i n \frac{1 \cdot 4, 5 \cdot 10^{- 7}}{3, 333 \cdot 10^{- 6}} = 7, 75^{\circ}$

$y = t g α \cdot 2 l = t g 7, 75^{\circ} \cdot 2 \cdot 3 = 0, 8165 m = 81, 65 c m$

Edit: Proč u toho posledního výpočtu je 2 netuším, ale narazil jsem na tento vzoreček ve skriptech.

MichalAld · 14. 10. 2024 12:50

Ach jo, fakt na to nepřijdeš? Ani když si to namaluješ?

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2024 20:39

Pomoc s výpočtem příkladů

#2 08. 10. 2024 14:16 — Editoval ThomasxD (08. 10. 2024 14:16)

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#3 09. 10. 2024 14:58

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#4 09. 10. 2024 17:06

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#5 09. 10. 2024 17:50

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#6 09. 10. 2024 18:22

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#7 09. 10. 2024 18:48 — Editoval Mirek2 (09. 10. 2024 18:48)

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#8 09. 10. 2024 18:57

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#9 09. 10. 2024 19:10

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#10 10. 10. 2024 10:50 — Editoval MichalAld (10. 10. 2024 10:56)

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

ThomasxD napsal(a):

#11 10. 10. 2024 22:43

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#12 13. 10. 2024 10:28

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#13 13. 10. 2024 10:37

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

ThomasxD napsal(a):

#14 14. 10. 2024 11:58 — Editoval ThomasxD (14. 10. 2024 12:14)

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

#15 14. 10. 2024 12:50

Re: Pomoc s výpočtem příkladů

Zápatí