Matematické Fórum

↑ check_drummer:
Jojo, už jsem si to přečetl a docela tomu věřím:-)

Ale nevěřím tomuhle důkazu:

Tak jsem o tom večer přemýšlel a nemáme šanci, každá taková suma bude nutně nekonečná...
Búno předpokládajme, že všechna ta čísla xi jsou <=1. Každé číslo xi odhadněme zespoda co nejnižší mocninou čísla 1/2. Těchto mocnin je spočetně a tedy některá pevná mocnina (1/2)^k tvoří odhad pro někonečně mnoho čísel xi - a součet těchto odhadů (nekonečno krát (1/2)^k) je tedy "nekonečný" a tedy stejně tak je nekonečný i součet těchto čísel xi, která ta mocnina (1/2)^k odhaduje.

Když budou xi klesat k nule, tak nenajdeme pevné kladné číslo jako dolní odhad. (Tím netvrdím, že úvodní tvrzení neplatí)

Např. pokud naše nespočetná množina bude interval, evidentně bude součet nekonečno:-)
Nejspíš se bude množina  s konečným součtem hledat hodně blbě

↑ check_drummer:

Ten tvůj důkaz #4 je špatně.

check_drummer napsal(a):

některá pevná mocnina (1/2)^k tvoří odhad pro někonečně mnoho čísel xi a součet těchto odhadů (nekonečno krát (1/2)^k) je tedy "nekonečný"

Takže tvrdíš: mám nekonečně mnoho řad, součet každé řady je roven, anebo větší než nějaké 2^(-k).  Je-li těch součtů nekonečně mnoho, je jejich součet nutně nekonečný, protože nekonečno*2^(-k) je nekonečno.

Tím ovšem "dokázals", že i jeden každý součet přes spočetnou množinu je nekonečný. "Nekonečná" je totiž i každá spočetná množina. Takže tvrdíš: mám konečné součty spočetně mnoha čísel. Je-li těch součtů spočetně mnoho, je  součet těch součtů nutně nekonečný.   

To samozřejmě není pravda. Je-li totiž v každé řadě spočetně mnoho čísel a těch řad je sice nekonečně, ale jen spočetně mnoho, je celkový počet sečítaných čísel rovněž spočetný. A součet  spočetného počtu čísel je jedna zcela obyčejná nekonečná řada.

Protipříklad:

Řada  1:  [mathjax]\huge s_1=\sum_{n=1}^{\infty} {1\over 2^{n+1}}= 2^{-1} [/mathjax] dolní odhad [mathjax]\huge 2^{-1};  k=1[/mathjax]

Řada  2:  [mathjax]\huge s_2=\sum_{n=1}^{\infty} {1\over 2^{n+2}}= 2^{-2} [/mathjax] dolní odhad [mathjax]\huge 2^{-2};
k=2[/mathjax]
........

Řada  m:  [mathjax]\huge s_m=\sum_{n=1}^{\infty} {1\over 2^{n+m}}= 2^{-m} [/mathjax] dolní odhad [mathjax]\huge 2^{-m};
k=m[/mathjax]
.....

Každý z těch součtů je větší než nula, je jich nekonečně mnoho a přesto je

[mathjax]\huge\sum_{m=1}^{\infty} s_m = \sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m}=1[/mathjax]

Eratosthenes napsal(a):

Dost mi dalo zabrat vymyslet tu nespočetnou řadu, která konverguje  - viz  12. 11. 2024 20:05.

O tom jsme se přece shodli, že to není řada nespočetná, ale spočetná... Indexy (k,n) jsou z N a tedy těch dvojic je spočetně mnoho.

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ne to co píšeš ty netvrdím, já tvrdím jen to co tam je napsáno. To co tvrdím v tom příspěvku je, že mám-li nekonečně mnoho čísel, která jsou větší než nějaká mocnina 1/2, tak součet těchto čísel není konečný.

No, každopádně tvrdíš, že kvůli tomu nelze sečíst nespočetnou řadu. Jenže v nespočetné řadě může být počet takových čísel vždy jen konečný.

check_drummer napsal(a):

Eratosthenes napsal(a):

Dost mi dalo zabrat vymyslet tu nespočetnou řadu, která konverguje  - viz  12. 11. 2024 20:05.

O tom jsme se přece shodli, že to není řada nespočetná, ale spočetná... Indexy (k,n) jsou z N a tedy těch dvojic je spočetně mnoho.

Je pravda, že jsem na chvíli zapochyboval, ale není to tak. Je to totéž, jako kbybys tvrdil, že v řadě [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mathjax] je každý index přirozené číslo, tudíž ta řada je konečná.

Pokud si myslíš, že ta moje řada je spočetná, měl bys najít nějaký index z intervalu <0;1>, který v tom stromu nemám.

Eratosthenes napsal(a):

Je to totéž, jako kbybys tvrdil, že v řadě [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mathjax] je každý index přirozené číslo, tudíž ta řada je konečná.

To ne, ale např. to znamená, že index n je konečný, tedy že neexistuje prvek "a" s indeem "nekonečno".

↑ Eratosthenes:
Ve stromě to máš, ale v té sumě to nemáš.

Eratosthenes napsal(a):

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Nemáš tam např. index 0.010101.... a tak až do nekonečna.

https://i.ibb.co/ZgzpfHL/Napad-1.png

Nějaký další nápad?

Ten graf mě docela zaujal, i když se už dost ztrácím v tom, co se tady vlastně řeší, tak mě to kdyžtak někdo zkuste zjednodušeně vysvětlit.

Čemu rozumím, že ten binární graf reprezentuje (třeba ve dvojkové soustavě) všechna čísla na nějakém intervalu. A že počet těch číslic (uzlů grafu) spočetný je, zatímco počet možných cest, jak se dobrat nekonečna už spočetný není.


Podle mě ale ten graf nelze sčítat po řádcích. Teda - lze, ale ten součet nebude stejný jako součet přes všechny možné cesty. Protože když budeme sčítat všechny možné cesty, bude tam každé z těch čísílek mnohokrát, řekl bych nekonečně mnohokrát, a né jen jednou. Což je podle mě v podstatě důkaz, že ten součet bude vždycky nekonečný.

Pokud se nějaká z cest v tom grafu bude jakýmkoliv způsobem rozvětvovat až do nekonečna, tak součet všech těchto větví musí být nutně taky nekonečný.

↑ check_drummer:↑ MichalAld:

Pánové,

vidím, že mi oba stejným způsobem nerozumíte. Zkusím shrnout, snad už srozumitelně.

Začneme tou řadou. Ta konverguje

[mathjax]\huge\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} a_{k;n}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} {1 \over {2^kn^2}} =\sum_{n=1}^\infty {{1-2^{-n}} \over {n^2}}
\le \sum_{n=1}^\infty
{1\over {n^2}}<\infty[/mathjax]

o to se snad přít nemusíme. Jde o to, zda množina {a[n,k]} je spočetná, anebo nespočetná.

Jakého rozsahu nabývají indexy n,k?

                
                              a[n,k]

              a[1;1]                a[1;2]

        a[2;1]       a[2;2]    a[2;3]        a[2;4]

          ------------------------------------
                     atd. do nekonečna

To mě přivedlo na myšlenku nekonečného binárního stromu



u kterého bylo třeba zjistit, zda množina jeho uzlů je spočetná, anebo nespočetná. Z tohoto důvodu jsem ho osázel těmi binárními čísly:



Žádné číslo z intervalu <0;1> tam nechybí. Naopak. nekonečně mnoho čísel se tam nekonečněkrát opakuje. To znamená, že zobrazení množiny uzlů  na interval <0;1> je pouze surjekce, takže množina uzlů by mohla mít dokonvce větší mohutnost než ten interval. Tak tomu ovšem není, protože těm uzlům "přebývá" jenom spočetná množina.OK. Takže množina uzlů je nespočetná. To je to, oč tu běží. To je třeba  si pamatovat a na interval <0;1>, binární čísla a podobné radosti zapomenout.

ZAPOMEŇTE, VYMAŽTE.



a pamatujte jen to, že uzly jsou nespočetné.

A teď ten nespočetný prázdný strom



osázíme tou množinou sečítaných čísel:



Nikde se nic neopakuje, žádní dva sčítanci nejsou stejní. Vnitřní suma sčítá čísla v řádku, ta vnější přičítá řádek po řádku.Každý následující řádek je dvakrát delší než předchozí, ale absolutní hodnoty klesají se druhou mocninou čísla řádku. Takže součty v řádcích postupně klesají tak, že jejich nekonečná řada (ta vnější suma) konverguje.

Je to absolutně konvergentní řada. Pokud by byla spočetná, bylo by úplně fuk, v jakém pořadí se sčítá, u té nespočetné si nejsem úplně jist. V každém případě se dají přehazovat čísla v řádcích, protože řádky jsou konečné, a celé řádky, protože jejich součty tvoří běžnou absolutně konvergentní řadu.

Eratosthenes napsal(a):

Žádné číslo z intervalu <0;1> tam nechybí. Naopak. nekonečně mnoho čísel se tam nekonečněkrát opakuje. To znamená, že zobrazení množiny uzlů  na interval <0;1> je pouze surjekce, takže množina uzlů by mohla mít dokonvce větší mohutnost než ten interval.

Chybí, ty mícháš dohromady cesty a uzly. Ano, každé reálné číslo je reprezenované nějakou cestou, ale ne nějakým uzlem. Např. neexistuje uzel odpovídající číslu 0.01010101.... atd.

↑ Eratosthenes:
To, že na každé cestě je nekonečně mnohpo uzlů neznamená, že uzlů je "víc" než cest. ono je to i naopak, že každým uzlem prochází nekonečně mnoho cest a dokonce:

Na každé cestě je SPOČETNĚ mnoho uzlů.
Ovšem každým uzlem prochází NESPOČETNĚ mnoho cest.

Už to naznačuje, že cest je "víc" než uzlů.

osman napsal(a):

↑ check_drummer:
Pokud je množina všech podmnožin přirozených čísel nespočetná, je množina všech uzlů stromu nespočetná.
Stačí do každého uzlu v i-te úrovni umístit jednu podmnožinu množiny {1,2,...i}. Při i rostoucím do nekonečna poroste množina řádku i směrem k množině všech podmnožin N.

Podle mě o množině uzlů stromu nemůže být sporu. Ty prostě seřadit dokážeme - třeba odshora a zleva.

Ale jinak to trochu paradoxní je - protože počet cest (který má být nespočetný) odpovídá počtu uzlů v "poslední řadě" . Přitom "uzly v poslední řadě" jsou určitě podmnožinou množiny všech uzlů, takže by jich mělo být méně - a celkový počet uzlů spočetný je.

Ale podle mě to přesně takto je - a trik je v tom, že nic jako "poslední řada" u nekonečně hlubokého grafu neexistuje. Nemůžeme říct nic ve stylu - vezmeme prostřední uzel z té poslední řady - ten bude první, nalevo od něj druhý, napravo třetí, nalevo od toho nalevo 4. napravo od toho napravo 5. atd. U nekonečně hlubokého grafu tohle nejde.

Takže i když je intuitivně v poslední řadě grafu jen polovina uzlů než v celém grafu dohromady, je "počet uzlů v poslední řadě grafu" nespočetný, zatímco celkový počet uzlů spočetný je. Protože ta "poslední řada" prostě není korektní definice. Žádná "poslední řada" neexistuje. Korektní definice je jen množina všech cest.