Matematické Fórum

MichalAld napsal(a):

Pokud někdo ještě trváte na myšlence, že počet uzlů našeho binárního grafu je nespočetný, tak si vyberte libovolný uzel a já vám řeknu jeho pořadové číslo.

Když vezmu cestu odpovídající třeba číslu [mathjax]\pi[/mathjax], nikdo k ní pořadové číslo nenajde.

Ale to není tím, že by to číslo neexistovalo, ale tím, že to neumíme. Podle axiomu výběru to jde.

Vybírám uzel  [mathjax]a[\omega; 2^\omega][/mathjax].

Eratosthenes napsal(a):

Vybírám uzel  [mathjax]a[\omega; 2^\omega][/mathjax].

Tak to bohužel, já netuším, co ta [mathjax]\omega[/mathjax] znamená.

↑↑ osman:
Ve své konstrukci používáš konečné podmnožiny N a ne ty nekonečné.

ještě jednou - koukněte se na příspěvek #40. To je podle mě jádro toho proč to oba chápete špatně. A jediný, kdo to chápe správně je fyzik. :-)

↑ Eratosthenes:
Není číslo jako číslo - ale v definici spočetné množiny prvky té množiny musíme očíslovat pouze přirozenýmio čísly - a ne zobecněnými kardinály.

check_drummer napsal(a):

Eratosthenes napsal(a):

↑↑ osman:

Konečně se mě někdo zastal :-)

To, že se tě někdo zastane, neznamená, že máš pravdu. Matematické věty se nedokazují hlasováním. :-))

Ve svém posledním příspěvku žádnou větu nemám. Jediné tvrzení, co tam je, je [mathjax]2^{{\aleph}_0} ={\aleph}_1[/mathjax]. A to je axiom, který se nedokazuje. A klidně se může hlasovat - v teoriii množin totiž být může, ale taky nemusí. 

Jak jsem řekl - nikomu to nevnucuju. Takže buď ber, anebo nech být. Pak ale buď vymysli něco svého,  anebo se znovu odvolej na svůj důkaz #4  a svoje téma uzavři.

↑ Eratosthenes:

Nejlepší definici vymyslell asi vlado hned na začátku této diskuse. Měl tam jen asi překlep (doufám), musí se sčítat jen přes spočetné množiny.

Ale vzhledem k tomu, že takový součet bude stejně vždy ne-konečný, tak asi nemá smysl tu definici hledat.

Tvoji definici bych přijal, pokud by byla korektní, což zatím vypadá že není.

check_drummer napsal(a):

MichalAld napsal(a):

Já ale myslím, že jen z toho, že každým uzlem prochází nekonečné množství větví dokážeme, že každý takový součet je nekonečný.

Ale součet nekonečně mnoha členů může být konečný. U spočetného případu je to známá věc. u nespočetného to neplatí, viz můj bod #4.

Jasně, ale jsou to členy, které postupně klesají k nule.

Jenže tady mluvíme o uzlu, a jeho hodnota je stále stejná. Ať už je jakákoliv, tak krát nekonečno dá vždycky nekonečno.

Když si namalujeme větve, které představují čísla nějaké konvergentní řady, uvidíme, že nikdy všechny neprochází uzly s nenulovou hodnotou.

No, obecně to nedokazuje, že součet nějaké nespočetné množiny čísel musí být nekonečný. Dokazuje to pouze to, že součet těch "blízkých čísel" (jako třeba intervalu) bude nekonečný, dokonce i když půjde o racionální čísla, tak to tak bude.

A když jsou čísla od sebe "vzdálená", tak jich zase podle mě nemůže být nespočetné množtví. To zase plyne z toho, že každým uzlem by vedlo jen konečné množství cest.

osman napsal(a):

Moje konstrukce mi připadala pěkná, ale je to blbost. Spíš možná dokazuje, že množina všech konečných podmnožin N je spočetná.

A to je pravda nebo není?

↑ osman:

Ano, dokonce v příspěvku #34 jsem to forumuloval téměř přesně jako ty. :-)

Jsem bit, jak žito, ale přece ještě něco zkusím.

check_drummer napsal(a):

ještě jednou - koukněte se na příspěvek #40. To je podle mě jádro toho proč to oba chápete špatně. A jediný, kdo to chápe správně je fyzik. :-)

Takže ze začátku byli všichni blbci a jediní dva, kteří matematiku chápali správně, byli check_drummer a fyzik. Postupně se situace měnila a teď už to chápou skoro všichni. Jediným blbcem, který to stále nechápe, tady zůstávám já. Jak Jan Žižka - proti všem. Naštěstí mi naděje ještě nezhasla, protože

check_drummer napsal(a):

Matematické věty se nedokazují hlasováním. :-))

Takže se pořád může stát, že jediný blbec může mít pravdu proti všem chytrým, kteří tvrdí opak. I když mu to ti chytří svými argumenty komplikují, seč mohou. Například takto:

check_drummer napsal(a):

A přidat někam symbol alef0 a myslet si že tím pochytím i nekonečně velké podmnožiny, to není správně.

Alef0 je symbol pro první nekonečné kardinální číslo, tedy pro "počet prvků" spočetně nekonečné množiny. Měl by to vědět každý student matematiky po prvním semestru. Netušil jsem, že na matematickém fóru to někdo neví.

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Podle mě tam roubuješ nesmyslně různé symboly anož bys definobval význam toho co definuješ

Prohlédl jsem a nebudu roubovat. I když je mi těžko odhadnout, co ještě chápete a co už je nesmyslné roubování (viz moji předchozí poznámku). Pokusím se svoji definici součtu přes nespočetnou množinu vysvětlit, i když nesmím použít nejen symbol pro množinu nespočetnou, ale dokonce ani symbol pro množinu spočetnou. Trochu mi to připadá, jako kdybych měl vysvětlit logaritmus a nesměl použít logaritmus. Ale pokusím se.

check_drummer napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
Množina těch uzlů je spočetná, stejně jako je spočetná množina {a(n,k)}. Co je nespočetné je množina těch cest v tom stromě.

Zapomeňte. Zapomeňte na uzly, zapomeňte na cesty, zapomeňte na binární strom. Vidím, že to, co mělo pomoct, tak jenom mátlo. Ještě jednou - zapomeňte. Budu potřebovat jen obyčejnou středoškolskou limitu. To snad dovoleno mám. Jo a ještě něco, co se možná na SŠ už neučí - interval <0;1> je nespočetný. Dokazovat snad nemusím.

Začnu tímto:

check_drummer napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
Mějme intervaly [mathjax]<\frac{1}{2^i};\frac{1}{2^{i+1}})[/mathjax]. Těch je spočetně mnoho.

Toť otázka. Pravdu máš pouze v případě, že jimi dělíš celou reálnou osu popř. poloosu Pak je [mathjax]i\in \mathbb{N}[/mathjax] (raději

tedy označím [mathjax]k\in \mathbb{N}[/mathjax]) a je to spočetné. Ale já nemám ambice sečítat přes celou osu. Ani poloosu. Já sečítám na intervalu <0;1> (i když v důsledku to bude jedno). Takže vezmu interval <0;1> (nebo si představte jednotkovou úsečku) a začnu půlit. Pak po n krocíách mám 2^n intervalů, jeden každý z nich má délku 1/2^n. Konečný počet kroků, konečný počet intervalů konečné délky. Ale co když budu půlit do nekonečna? Dostanu nekonečný počet intervalů nekonečně malé délky? Omyl.
 
[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty}{1\over {2^n}} = 0[/mathjax]

Limita posloupnosti není interval. Limita posloupnosti je číslo. V našem případě je to délka intervalů. Ty intervaly mají délku nula. Nic "nekonečně malého", délka intervalu je v tomto případě čistá nula. Z haldy intervalů mám najednou haldu zcela přesných reálných čísel.

Zbystřete - z konečné hromádky intervalů mám jedinou limitou nespočetnou hromadu bodů.

Kolik bylo kroků?

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty} n = \infty[/mathjax]

Každý člen posloupnosti na levé straně je konečné číslo. To má jít k nekonečnu, na pravé straně totéž nekonečno.

Kolik je těch trefených čísel?

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty}2^n = \infty[/mathjax]

Takto se to v elementární analýze běžně píše, ale pro naše naše účely je to špatně. Kroků (to je to nekonečno nalevo) bylo spočetně mnoho. Ale trefil jsem přece každé reálné číslo, takže to n nalevo jde ke "spočetnému nekonečnu", ale napravo je "nekonečno nespočetné". Takže bych ta nekonečna měl rozlišit. Třeba takto:

* [mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0} n = \infty_0[/mathjax] 

** [mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n = \infty_1[/mathjax]

Připouštím, že je to poněkud podivná terminologie i symbolika, ale alefy jsem si po předchozích zkušenostech zakázal.A všimněme si ještě něčeho, co bude velmi podstatné.

V prvním případě je každý sebevětší člen posloupnosti konečné číslo. Přechod k limitě znamenal pro posloupnost konečných čísel skok do spočetného nekonečna.

Ve druhém případě je každý sebevětší člen posloupnosti opět konečné číslo. Přechod k limitě znamenal pro posloupnost konečných čísel skok do NESPOČETNÉHO nekonečna. 

Sečítám nespočetnou řadu.

První krok:
Vezmu interval <0;1> a  rozpůlím.
Tímto prvním krokem získám jeden bod, tj. krokem č. 1 získám 2^0 bodů. Beru první číslo z řady.

Druhý krok.
Půlím dva intervaly, mám další dva body, tj. krokem č. 2 získám 2^1 bodů. Beru další dvě čísla z řady.
Dohromady mám 2^0+2^1 = 2^2-1 bodů.

Třetí krok.
Přibývají čtyři body. Krokem č. 3 získám 2^2 bodů. Beru další čtyři čísla z řady.
Dohromady mám 2^0+2^1+2^2 = 2^3-1 bodů.

....

n-tý krok:
K počtu bodů 2^0+2^1+2^2+...+2^(n-2), které jsem už měl po předchozích krocích, přičítám 2^(n-1), dohromady mám

[mathjax]\huge 2^0+2^1+2^2+...+2^(n-2)+2^(n-1)=2^n-1 [/mathjax]

bodů a právě tolik oindexovaných čísel.


Kráčím do nekonečna. Kroků je spočetně mnoho, Kolik bodů to po těch spočetně mnoha krocích bude?

*** [mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = ? [/mathjax]

Mám limitu posloupnosti {2^n-1}. Každý její člen je konečné číslo, stejně jako v posloupnosti **. Tedy - úplně stejně ne. Tady ** jsem počítal intervaly, tady *** počítám dělicí body a těch je vždycky o jeden míň. Ale to by v té limitě nemuselo vadit.

Takže kolik těch bodů mám?

**** [mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = \infty_1 [/mathjax]

NESPOČETNĚ MNOHO. SEČETL JSEM NESPOČETNĚ MNOHO BODů...

Může být takový součet konečný?

Vraťme se k prvnímu půlení, na každý získaný bod posaďme nějaké číslo a sečítejme.

První půlení (n=1). První získaný bod (k=1).
Prvním číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{1,1}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{1-1}1^2}} = 1[/mathjax]
Součet čísel získaných prvním půlením:[mathjax]S_1=1[/mathjax]

Druhé půlení (n=2). Další dva získané body (k=1;2).
Celkově druhým číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{2,1}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{1-1}2^2}} = {1\over 4}[/mathjax]
Celkově třetím číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{2,2}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{2-1}2^2}} = {1\over 8}[/mathjax]
Součet čísel získaných druhým půlením:[mathjax]S_2={1\over 4}+{1\over 8}=3/8[/mathjax]

Třetí půlení (n=3). Další čtyři získané body (k=1;2;3;4}.
Celkově čtvrtým číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{3,1}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{1-1}3^2}} = {1\over 9}[/mathjax]
Celkově pátým číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{3,2}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{2-1}3^2}} = {1\over 18}[/mathjax]
Celkově šestým číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{3,3}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{3-1}3^2}} = {1\over 36}[/mathjax]
Celkově sedmým číslem je [mathjax]a_{n,k}=a_{3,4}={1\over {2^{k-1}n^2}} = {1\over {2^{4-1}3^2}} = {1\over 72}[/mathjax]
Součet čísel získaných třetím půlením: [mathjax]s_3={1\over 9}+{1\over 18}+{1\over 36}+{1\over 72}=5/24[/mathjax]
......
n-té půlení. Dalších 2^(n-1) získaných bodů [mathjax]a_{n,k}={1\over {2^{k-1}n^2}}[/mathjax]
Součet čísel získaných n-tým půlením: Jak jsem slíbil, roubovat symboly nebudu. Tedy nebudu je roubovat sem. Narouboval jsem je do WA. WA jim (kupodivu) rozumí. Sdělil mi, že

[mathjax]S_n=a_{n,1}+a_{n,2}+...+a_{n,2^n}={{2-2^{1-n}} \over {n^2}}[/mathjax]

Zamyslím se nad součtem S_1+S_2+S_3+....+S_n.

V součtu S_1 je 2^(1-1)=2^0 členů.
V součtu S_2 je 2^(2-1)= 2^1 členů.
V součtu S_3 je 2^(3-1)= 2^2 členů.
.....
V součtu S_n je 2^(n-1) členů

Po n krocích tedy sečtu celkem

[mathjax]2^0+2^1+2^2+...+2^{n-1}=2^n-1 [/mathjax]

členů. Přesně tolik, kolik je bodů po n-té, půlení intervalu. Co se stane, když teď n pošlu do spočetného nekonečna?

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = \infty_1 [/mathjax]

Kupodivu přesně to, co se stalo tady ** a tady ****

SEČETL JSEM NESPOČETNĚ MNOHO ČÍSEL...

Jaký dostanu součet?

Po n- krocích

[mathjax]\huge S_1+S_2+S_3+....+S_n={{2-2^{1-1}}\over {1^2}}+{{2-2^{1-2}}\over {2^2}}+{{2-2^{1-3}}\over {3^2}}+...+{{2-2^{1-n}}\over {n^2}}[/mathjax]

Kolik to je? To sem psát nebudu. Musel bych na to naroubovat další nesrozumitelný symbol a na to, co do výsledku narouboval WA, to se raději ani neptejte.

Jestliže v součtu S_1+S_2+S_3+....+S_n pošlu to n do spočetného nekonečna

[mathjax]\lim_{n\to \infty_0} (S_1+S_2+S_3+....+S_n)=[/mathjax]

výsledek z WA kupodivu potřebuje naroubovat jenom dva další, celkem srozumitelné symboly

[mathjax]\huge\lim_{n\to \infty_0} (S_1+S_2+S_3+....+S_n) ={{\pi ^2} \over 6} +{\ln ^2 2}[/mathjax]   

Takže: sečetl jsem nespočetně mnoho kladných čísel, jako součet jsem  obdržel nenulové a konečné číslo.

Ano, zdá se to jako paradox. Ale je to stejný "paradox" jako skutečnost, že na úseče je úplně stejně bodů, jako na celé přímce (mimochoden - díky tomuto "paradoxu" je úplně jedno, zda svoji konstrukci provedu nad intervalem <0;1>, anebo nad nějakým jiným. Lze ji dokonce provést nad celým R, jenom by se muselo roubovat trochu víc symbolů). Je to stejný "paradox", jako skutečnost, že mezi každými dvěma racionálními čísly je nějaké iracionální a naopak mezi každými iracionálními nějaké racionální, a přitom se racionální s iracionálními na číselné ose nestřídají pravidelně jako černé a bílé korálky, protože těch iracionálních je nekonečněkrát víc. S těmito "paradoxy" jsme se smířili a tak nějak je přijali.

Členové poslouposti * jsou (konečná) přirozená čísla. Šipka u limity říká, že množina [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax] je potenciálně nekonečná a limita z tohoto potenciálního nekonečna  "vyrobí" nekonečno aktuální. Je to vlastně paradox, ale už jsme si na něj zvykli a nijak zvláštní nám to nepřipadá.  Ještě před sto padesáti matematikové brali jako paradox existenci samotného aktuálního nekonečna - totiž to, že o nekonečně mnoha objektech lze mluvit jako o jedné hromadě jménem [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax].

Členové posloupostí ** a **** jsou opět jen (konečná) přirozená čísla. Šipka u limity říká, že množina [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax] je potenciálně nekonečná a limita z tohoto potenciálního nekonečna  "vyrobí" nekonečno aktuální, které je nekonečněkrát větší než to z předešlého odstavce. Toto nekonečno vzalo nekonečně mnoho hromad jménem [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax] a všecek písek z nich nasypalo na jednu hromadu. Ale vlastně ne, to by vžnikla jenom jedna hromada, úplně stejně velká anebo malá jako v předchozím odstavci. Sjednocením spočetně mnoha spočetných množin totiž dostaneme opět jen jednu jedinou spočetnou množinu. Takže se stalo ještě něco víc. Co se stalo? To se běžnými slovy těžko vysvětluje...

Zdá-li se to paradoxní, pak jenom proto, že  se s tím běžně nesetkáváme a ještě jsme si nezvykli.

Vezměte kouli a rozsekejte ji na kousky. Z těch kousků pak sestavíte dvě koule, přičemž každá z nich bude úplně stejná, jako byla ta koule původní.

Paradox? Jenom proto, že  se s tím běžně nesetkáváme.  Banach s Tarski dokázali, že to jde. Tedy v matematice. S reálnými koulemi bych to určitě nezkoušel. Ale o to právě jde. V tom je krása a zároveň poťouchlost matematiky. V matematice si totiž můžete dovolit to, co v reálném světě ne. V tomto případě Banach s Tarskim vypustili z axiomů "zjevnou pravdu", totiž sigma-aditivitu míry. Lidsky řečeno - "zákon zachování objemu".

Zdá-li se paradoxní že ze spočetné množiny lze vyrobit množinu nespočetnou, je třeba si uvědomit, že je to přímým důsledkem "paradoxu", který má na svědomí Cantor, který zjistil že k zápisu každého prvku nespočetné množiny stačí spočetně mnoho nul a jedniček.

A ještě něco jsem použil, co jsem až dosud úspěšně tajil a bez čeho bych ten součet nesestrojil. Začal jsem sčítat tak, že jsem z nějaké množiny vzal nějaké číslo. Použil jsem tedy axiom výběru, který říká, že (lidsky řečeno) z každé množiny lze vybrat jeden prvek. Zdánlivá samozřejmost, ale je to axiom, který mohu vypustit a bez kterého se spousta matematiky obejde. Kdybych ho vypustil, nemohl bych sice ten součet sestrojit, ale to bych nemohl sestrojit ani 1+1 (proč?) 


Cantor se nakonec ze svého vlastního paradoxu zbláznil. My jsme ale o sto padesát let dál, a tak jsme se s tímto paradoxem smířili a tak nějak ho přijali. Měli bychom se smířit i s konečným nenulovým součtem nespočetného počtu kladných čísel a tak nějak ho přijmout.

Eratosthenes napsal(a):

Vezměte kouli a rozsekejte ji na kousky. Z těch kousků pak sestavíte dvě koule, přičemž každá z nich bude úplně stejná, jako byla ta koule původní.

Koule se skládá konečného počtu atomů/molekul, takže to asi nepůjde. Chápu, že to bylo přirovnání.