Matematické Fórum

↑ check_drummer:
Pozdravujem,
Pozri sem https://cs.wikipedia.org/wiki/Neeukleidovská_geometrie
Aj une verzie ( anglicku, franvuzku, atd….).

↑ check_drummer:
Pozdravujem,
Mas uplne pravdu, pojem geometria je pouzivany vdaka historickemu vyvoju tejto casti ( ci skor “tychto” ) matematiky. 
Nic ti nebrani studovat “rozne axiomaticke teorie” ( skus sa zabavit napr. vdaka google ….  ).

Ahoj! Vaše otázka je velmi zajímavá a týká se základních principů matematiky a axiomatické teorie.

1. Popírání jiných axiomů a jejich důsledky
Popřením jednotlivých axiomů lze vlastně získat různé „varianty“ geometrie, které by vedly k objevu zcela nových matematických struktur.
2. Modely takových teorií
Modely těchto teorií se budou lišit v závislosti na negaci konkrétního axiomu.
3. Co je geometrie?
Geometrie je v podstatě věda o prostoru a tvarech definovaná axiomy. Vzhledem k množině axiomů z nich můžeme odvodit další věty a struktury, které tvoří určitou geometrii. Klíčové jsou zde axiomy – definují, jaké vlastnosti a pravidla se v dané geometrii očekávají.

Pokud vás téma zajímá, doporučuji více prozkoumat. Teorie modelů a její propojení s logikou a geometrií. Toto je vzrušující cesta do světa matematiky! Mimochodem, momentálně se připravuji na zkoušky z matematiky, jsem opravdu unavený. Přátelé, jak relaxujete od náročných úkolů?

↑ chemnayaja:
Ahoj, co třeba procházka? Někde jsem slyšel že chůze je nejzdravější sport.

check_drummer napsal(a):

Ahoj,
Co je to vlastně geometrie - máme-li dány jen axiomy a nic víc?

Od dob Euklida jsme s geometrií poněkud pokročili.

Geometrie je uspořádaná čtveřice

[mathjax]\langle B, P, R, I \rangle[/mathjax]

po dvou disjuktních množin bodů, přímek, rovin a incidencí 

[mathjax] I = I_1 \times   I_2  \times I_3   [/mathjax]

kde

[mathjax] I_1 \subseteq B \times P[/mathjax] je incidence bodů a přímek

[mathjax] I_2 \subseteq B \times R[/mathjax] je incidence bodů a rovin

[mathjax] I_3 \subseteq P \times R[/mathjax] je incidence přímek a rovin

Standardně se požaduje splnění minimálně tří axiomů incidence, čímž dostáváme nejjednodušší (tzv. incidenční) rovinnou geometrii.

Axiom 1: Dvěma různými body prochází právě jedna přímka
Axiom 2: Na každé přímce leží alespoň dva různé body
Axiom 3: Existují alespoň tři body, které neleží na téže přímce

Nejjednoduším modelem jsou např. tři děti, které se drží za ruce. Děti jsou body, přímky jsou dvojice rukou, z nichž každá patří jinému dítěti. Dva body na přímce jsou dvě děti, které se drží za ruce.

Trochu složitějším modelem jsou např. diofantické rovnice o dvou neznámých jako přímky a jejich různá řešení jako body, které na nich leží.