Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 01. 02. 2025 15:48 — Editoval surovec (01. 02. 2025 15:52)
Cyklometrická rovnost
Přemýšlel jsem (resp. v jedné konkrétní situaci potřebuji), zda by šlo rovnost
[mathjax2]\arccos x=3\cdot \arccos y[/mathjax2]
převést na nějaký mnohočlen bez proměnných v nějaké (nejen cyklometrické) funkci, tedy [mathjax]P(x,y)=0[/mathjax] (případně by mohl být celý mnohočlen uvnitř nějaké funkce, to by nevadilo). Zkusil jsem to přes vyjádření arkuskosinu pomocí komplexního logaritmu, ale zatím se nedaří, přitom mám důvod se domnívat, že to jde...
Offline
#2 01. 02. 2025 16:40
Re: Cyklometrická rovnost
Tohle?
[mathjax]4\,y^3-3\,y-x[/mathjax]
Offline
#4 02. 02. 2025 06:58
Re: Cyklometrická rovnost
↑ surovec:
Ahoj, [mathjax] \cos(n\alpha) [/mathjax] jde vyjadrit pomoci Cebysevova polynomu prvniho druhu:
[mathjax] \cos(3\alpha) = T_3(\cos\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha [/mathjax]
Offline
#5 02. 02. 2025 22:30 — Editoval surovec (02. 02. 2025 22:31)
Re: Cyklometrická rovnost
↑ laszky:
Hm, zajímavé... Ale dnes už mi to nemyslí, abych si (jinak všeobecně známý) vzorec pro [mathjax]\cos(3\alpha)[/mathjax] dal do souvislosti s těmi arkuskosiny... Ještě někdy během pár dnů zkonzultuji, v čem je problém při odvození přes komplexní logartimus.
Edit: Aha, už mi to docvaklo. ;-)
Offline
#6 05. 02. 2025 18:50 — Editoval surovec (05. 02. 2025 19:15)
Re: Cyklometrická rovnost
Tady je ten problémek (arccos nahradím komplexním logaritmem):
[mathjax]\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\ln\left(\sqrt{1-x^2}+\mathrm{i}x\right)=\frac{3\pi}{2}+3\mathrm{i}\ln\left(\sqrt{1-y^2}+\mathrm{i}y\right)[/mathjax]
[mathjax]3\ln\left(\sqrt{1-y^2}+\mathrm{i}y\right)-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+\mathrm{i}x\right)-\pi\mathrm{i}=0[/mathjax]
No a teď, když z toho udělám tohle
[mathjax]\ln\left(\left(\sqrt{1-y^2}+\mathrm{i}y\right)^3\right)-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+\mathrm{i}x\right)-\pi\mathrm{i}=0[/mathjax],
tak při dosazení nějaké hodnoty vychází jiný výsledek, přitom ten logaritmický vzorec by měl platit...
Takže v čem je chyba?
Offline
#7 05. 02. 2025 20:04
Re: Cyklometrická rovnost
↑ surovec:
Ahoj, ja zkusil dosadit [mathjax] x=\cos\alpha,\ y=\cos\beta [/mathjax] a funguje to. Mozna bude problem v tom, jak pocitas ty komplexni logaritmy. Neni to mnohoznacna fukce? Takze by se ty logaritmy pak mohly lisit o [mathjax] 2k\pi i[/mathjax].
Offline
#8 05. 02. 2025 20:07
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3103
- Reputace: 140
Re: Cyklometrická rovnost
↑ surovec:
nevím, jaký arccos jak nahrazovals, ale ten vzoreček je
[mathjax]\arccos z =-i\cdot \ln (z\pm \sqrt{z^2-1})[/mathjax]
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#9 05. 02. 2025 20:52
Re: Cyklometrická rovnost
↑ Eratosthenes:
Ahoj, ale kdyz [mathjax] z[/mathjax] je realne a [mathjax] |z|<1 [/mathjax], pak
[mathjax]-i\cdot \ln (z\pm \sqrt{z^2-1})=-i\cdot \ln (z\pm i \sqrt{1-z^2}) = [/mathjax]
[mathjax]=-i\cdot \ln (-i(\mp \sqrt{1-z^2}+iz)) = -i\cdot \ln (-i)-i\cdot\ln(\mp \sqrt{1-z^2}+iz) = [/mathjax]
[mathjax] = i\cdot \frac{\pi}{2}i-i\cdot\ln(\mp \sqrt{1-z^2}+iz) = - \frac{\pi}{2}-i\cdot\ln(\mp \sqrt{1-z^2}+iz) [/mathjax]
Takze se mu to lisi jen o znamenko. A protoze je arccos na obou stranach rovnosti, znamenko se pokrati.
Offline
#10 05. 02. 2025 21:53
Re: Cyklometrická rovnost
↑ laszky:
Hm, tak ti nevím. Dosazoval jsem to do Maple asi desetkrát a nikdy to nevyšlo. Ale jakmile jsi ty napsal, že tobě to vyšlo, tak najednou Maple vyhazuje stejné výsledky... Tomu se říká respekt...
P. S.: Pokud se ten vztah s logaritmy dotáhne do konce, tak z toho vyleze těch [mathjax]4y^3-3y-x[/mathjax].
Offline