Matematické Fórum

Brano napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:

Dokaz mas zle, vyuzivas komutativitu napriek tomu, ze si predpokladal, ze neplati a preto dochadzas k sporu. .

Ono je to trochu jinak. Důkaz zde ↑↑ Eratosthenes: je dobře a komutativitu nepoužívám. Jenom jsem bohužel zapomněl na to, co jsem před tím sám napsal tady ↑↑ Eratosthenes:: že totiž definovat se dá leccos, jde jen o to, zda by to k něčemu bylo. Totiž to, že definice vektorového prostoru nad tělesem připouští, že tím vektorovám prostorem je těleso samo, je sice korektní, ale podle mě naprosto absurdní. Je to jako Cimrmanův Hamlet bez Hamleta: je to vektorový prostor bez vektorů.

Když totiž v takovém prostoru vektory připustíme, začnou se dít prapodivné věci. Jestliže rovnici $p\cdot \overrightarrow{v}=q\cdot \overrightarrow{u}$ rozporuješ rovností $i\cdot i=j\cdot j$, pak je $i$ skalár a hned vedle je totéž $i$ vektor. Jakýkoliv kvaternion může být vektor i skalár současně, podle toho, jak se to kde hodí, anebo nehodí. A nejen nekomutativní kvaternion. I komutativní komplexní číslo (tj. standarní prostor nad komutativním tělesem).

Takže když napíšu 2*(3+4i), je dvojka skalár a 3+4i je vektor. Ale když napíšu (3+4i)*2, musí to být naopak. Skaláry totiž (i jako prvky komutativního tělesa) musím dle axiomů VP k vektoru "přinásobovat" vždycky zleva. Takže najednou je z téže původně skalární dvojky vektor a původní vektor 3+4i se stává skalárem.

Co samotné 3+4i? To plus je tam součet vektorů, anebo skalárů? A co když někde o řádek výš byla trojka skalár a 4i byl vektor? Můžu sečíst $c+\overrightarrow{v}$?. Můžu, protože jak $c$, tak $\overrightarrow{v}$  jsou kvaterniony (nebo stačí ta komplexní čísla). A ty sečíst můžu. A když tedy sečtu $c+\overrightarrow{v}$, co je součtem? Skalár, anebo vektor? Můžu si vybrat, co se mi zrovna hodí.

Děkuji, nechci.

Já bych definici VP doplnil o to, že aditivní grupa vektorů nesmí být vnořitelná do tělesa skalárů. A bylo by jasno. Těleso samo o sobě by nebylo vektorovým prostorem. Vyloučil bych takové nesmysly jako že racionální čísla jsou vektorovým prostorem nad čísly reálnými. Bylo by jasno, co je vektor, co je skalár a co je násobení vektoru skalárem. A pokud by těleso skalárů nebylo komutativní (klidně by to mohly být ty kvaterniony), byl by celý prostor triviální - obsahoval by jen nulový vektor (v takto definovaném VP je totiž můj důkaz korektní).  Takový prostor by asi taky nebyl k ničemu, ale byl by pořád lepší než ten guláš výše. Nakonec - triviální grupa má v teorii grup svoje nezastupitelné místo.

↑ Brano:

>> cize napriklad sa ti nepaci ani to, ze R je vektorovy priestor nad R (inymi slovami Euklidovska priamka je tiez uplne nanic) a vo vseobecnosti jednorozmerne vektorove priestory

Ne, mně se nelíbí, když se matlají dohromady vektory, skaláry a různé operace se míchají do jednoho guláše. Když nevíš, jestli znak "3" je skalár anebo vektor. Jestli zápis 2.3=6 je násobení dvou skalárů a šestka je tedy skalár, anebo je to dvojnásobek vektoru tři, ta stejná tečka je najednou násobení vektoru skalárem a ta stejná šestka je z čista jasna vektor. Kdyby se to odlišovalo tak, jak se má, je jasné, že 2.3=6 je něco úplně jiného než $2\odot \overrightarrow{3}=\overrightarrow{6}$

A přímka je úplně v pohodě.

Kontrapříklad: to je právě ono. Je jasné, že spor je tady:

$a^{-1}\overrightarrow{v}=b\cdot \overrightarrow{u}$
$a^{-1}a\overrightarrow{v}=ba\cdot \overrightarrow{u}$

V nekomutativních skalárech totiž možná nevadí ani tak to, že násobení není komutativní, ale asi víc to, že zprava násobit vůbec nemůžeš. Nevím, jestli v takovém prostoru může vůbec něco fungovat a jestli to nakonec není důvod, proč se komutativita vyžaduje.

>> ak to vnimas komplexne cisla ako vektorovy priestor nad R...

Jenže já to tak nevnímám. Kdybys četl pozorně, psal jsem: "když vektorovým prostorem nad tělesem je těleso samo". Vektorovým prostorem je tedy těleso C nad sebou samým, tj. těleso C. Takže v zápise 2*(3+4i) je i ta dvojka číslo komplexní. Je-li to násobení vektoru skalárem, musí být vlevo skalár, vpravo vektor. Zápis (3+4i)*2 je zcela korektní, opět násobení vektoru skalárem, opět je skalár vlevo, vektor vpravo. Takže to co bylo dříve vektorem, stalo se skalárem a naopak. A to, co bylo hlupákem, tak se stalo medvědem. A taky naopak.

>> kde si prosim ta videl v definicii vektoroveho priestoru sucet skalaru a vektoru?

V definici nikde. Já přece nikde netvrdím, že by to mělo jít všude a že je to dokonce někde v definici. Buď to záměrně překrucuješ, anebo nerozumíš psanému textu. Já tvrdím jen to, že to jde zcela konkrétně ve zcela konkrétním vektorovém prostoru - ve vektorovém prostoru C. A tvrdím, že vektorový prostor, kde můžeš sečíst vektor se skalárem, není struktura, ale bramboračka.

Tomu zbytku nerozumím zase já. Ale mně to nevadí, nemusím rozumět všemu.

↑ Eratosthenes:
To je právě na tom to zajímavé, že si můžeš vybrat... Co je to 1 - přirozené číslo? Reálné číslo? Komplexní číslo? Vektor? Můži si vybrat. nejsem svázán nějakými zbytčně omezujícími pravidly...

Eratosthenes napsal(a):

Za prvé tomu vůbec nerozumím a za druhé já o voze a ty o koze. Já přece nikde nemluvím o sčítání konkrétních čísel, ale o násobení libovolných vektorů.

To co jsem uvedl byl příklad na to, že substituce může být korektní nebo nekorektní. A je úplně jedno jestli substituci provádíš za číselnou proměnnou, vektorovou proměnnou a nebo úplně jinou...

Eratosthenes napsal(a):

Já jsem dokázal, že v jakémkoli vektorovém prostoru nad nekomutativním tělesem  toto

$(\mathrm{\forall }a;b;c\in \mathbb{T})(\mathrm{\forall }u;v\in \mathbb{V})(a\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{u})\Rightarrow (ac\overrightarrow{v}=bc\overrightarrow{u})$

platí pouze v případě, že $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

To jsi nedokázal (nebo abych byl přesnější - to jsi neměl v úmyslu dokázat). Ty jsi naopak předpokládal, že platí

(*) $(\mathrm{\forall }a;b;c\in \mathbb{T})(\mathrm{\forall }u;v\in \mathbb{V})(a\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{u})\Rightarrow (ac\overrightarrow{v}=bc\overrightarrow{u})$

(protože to jsi použil v jedné své úpravě - a bez důkazu - konkrétně v #13 jde o úpravu:
$a^{-1}\overrightarrow{v}=b\cdot \overrightarrow{u}$
$a^{-1}a\overrightarrow{v}=ba\cdot \overrightarrow{u}$
)

a z toho jsi vyvodil, že všechny vektory toho prostoru musí být nulové.

Vůbec jsi to neformuloval tak, že chceš dokázat, že tvrzení (*) platí pro nulové vektory. Ty ses naopak domníval, že platí pro všechny vektory, a z toho jsi odvodil, že každý vektorový prostor nad nekomutativním tělesem musí obsahovat jen nulový vektor. To je rozdíl. Tvým záměrem nebylo dokázat tvrzení (*), ale popsat, jak vypadají vektorové prostory nad nekomutativním tělesem.

Vlastně to bylo tak, že jsi chtěl z předpokladů P (prostor je nekomutativní) dokázat tvrzení R (každý jeho vektor je nulový). Při tomto důkazu jsi využil tvrzení Q (tj. (*)), o kterém ses domníval, že je pravdivé. A dokázal jsi (P a Q)=>R. Jenže ejhle, ono se ukázalo (jak tady někdo upozornil), že R neplatí. Tedy jediné vysvětlení je, že tvrzení Q, které sis myslel, že platí, tak neplatí.

A to co psal Brano je, že ti dal protipříklady proč tvrzení (*) neplatí.

Každopádně je to dobrý návod na to, jak dokázat aspoň něco - buď dokážu R nebo nonQ. :-))

Což by bylo OK když by na to upozornil. Ale když to tu předkládá jako hotovou věc někomu, kdo se na něco přišel zeptat, to mi už tak super nepřijde.

↑ check_drummer:
Ještě jedna věc - kdybys studoval vnoření těles, tak bys zsjitil, že je užitečné chápat těleso jako vektorový prostor nad svým podtělesem. Ano, "mícháš" tam skaláry a vektory, ale není důvod takové konstrukce zakazovat.