Matematické Fórum

simonaj1 · 22. 07. 2009 18:22

Dobrý den všem, prosím, nevíte někdo, odkud bych se mohla samostudiem naučit integrály? nějaký šikovný odkaz, kde by bylo trochu polopatě vysvětleno oč jde, postupy a co se s čím dělá?

gladiator01

Podívej se třeba sem (není to polopatě, ale procvičováním to pochopíš)

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Neurcity … fault.aspx
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Urcity-i … fault.aspx
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Nevlastn … fault.aspx
nebo
http://mathonline.fme.vutbr.cz/M1---Uc. … fault.aspx (od str. 58)
(lze koupit i natištěné, v té formě jsou i vzorové příklady u každého tématu)

Některým spolužákům se tyto skripta (poslední odkaz) moc dobré nezdají, ale já jsem se z toho dokázala na zkoušku naučit, tak třeba i ty.

Tady je ještě sbírka příkladů
http://mathonline.fme.vutbr.cz/M1---Sbi … fault.aspx

Rumburak · 23. 07. 2009 09:06

Vojtěch Jarník: Integrální počet I.
Od téhož autora Ti mohu doporučit rovněž Diferenciální počet I, kde najdeš látku k limitám, derivacím atd.,
a na níž Integrální počet I volně navazuje.

Jde o klasické učebnice základů matamatické analýzy pro vážnější zájemce, avšak jsou psány velmi přístupně,
doslova "od základů".

Olin · 23. 07. 2009 11:25

↑ Rumburak:
No nevím, jestli s tebou můžu souhlasit. Jarník je sice perfektní, co se týče "budování" matematiky, matematické přesnosti a důkazů, ovšem pro pouhé "konzumenty" matematiky (kteří zpravidla potřebují vědět jen jak, ne proč) je to dle mého názoru kniha zbytečně složitá (a taky "zdlouhavá" - vzhledem k tomu, že se autor často odkazuje na předchozí závěry, lze to číst skoro výhradně jen jako celek od začátku do konce).

lukaszh · 23. 07. 2009 11:59

Súhlasím s ↑ Olin:. Jarníkova analýza je vhodná pre matematicko-fyzikálne fakulty. Niečo ako populárna literatúra v matematike sa ťažko hľadá, ale odkazy od ↑ gladiator01: budú asi postačujúce.

Rumburak · 23. 07. 2009 14:42

↑ Olin:, ↑ lukaszh:
Také jsem napsal, že jde o literaturu "pro vážnější zájemce". Zda Simonaj1 mezi ně patří, nechť si rozhodne ona sama.
O literatuře "pro konsumenty" nemám přehled.

Osobně si myslím, že do potíží při studiu matematiky se dostává hlavně ten, kdo se ptá pouze "JAK ?" (a nikoliv "PROČ ?").
Já aspoň bych se asi zbáznil, kdybych si měl všachna ta "JAK" pamatovat pouze mechanicky.

simonaj1 · 24. 07. 2009 14:40

↑ Rumburak: to vše je určitě hezká pravda, ale myslíš si, že je tento obsah učiva zvládnutelný i s tím proč za jeden semestr včetně přípravy a zkoušek z dalších předmětů? A ber prosím v úvahu i nedostatečnost přednášek pro dálkové studium, omezených na opsání teorie bez výkladu ve čtyřech dvouhodinových konzultacích, bez jakéhokoliv dalšího vysvětlování... a sorry, ale opravdu ze zápisu... např. $(sinx)\prime= cosx$ nepochopím proč tomu tak je a přiznejme si, že to je ten z jednodušších, takže jsem ráda za jakoukoliv dobrou a hlavně dost jednoduchou a polopatickou nápovědu od vás;-)

Rumburak

↑ simonaj1:
Samozřejmě, vše nakonec závisí na možnostech toho kterého studenta na té které škole, případně na jeho volbě z nabízených možností, pokud je z čeho volit.
Ze zápisu $(sinx)\prime= cosx$ se opravdu nedá pochopit, proč tomu tak je. Denním studentům by to měl někdo vysvětlit na přednášce nebo na cvičení,
dálkoví studenti jsou v tomto ohledu ošizeni - asi dost záleží na ochotě i časových možnostech konsultanata, co z látky vysvětlí osobně a kde odkáže na literaturu.

Mimochodem - uvedený vzorec se odvodí třeba takto:

Použijeme-li vzorec $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac {a + b}{2} \sin \frac {a - b}{2}$ , a skutečnost, že fce cos je spojitá, obdržíme z definice derivace

$(\sin x)\prime = {\lim}\limits_{h \to 0} \frac {\sin (x +h) - \sin x}{h} = {\lim}\limits_{h \to 0} \frac {2 \,\cos \frac {2x + h}{2} \,\sin \frac { h}{2}}{h} = {\lim}\limits_{h \to 0}\,\cos \frac {2x + h}{2}\, \frac {\sin \frac {h}{2}}{\frac {h}{2}} = \cos x \,\cdot 1$

Použili jsme též několikráte již zde vzpomínaný vzorec
(1) ${\lim}\limits_{t \to 0} \frac {\sin \,t}{t} = 1$ .
Ten ovšem nutno dokázat zvlášť . Můžeme k němu dospět L'Hospitalovým pravidlem, ale museli bychom při tom použít $(sinx)\prime= cosx$ ,
takže by to byl "důkaz kruhem", kdy dokazujeme tvrzení A pomocí B a tvrzení B zpětně pomocí A. Takové důkazy říkají, že tvrzrní A, B jsou ekvivalentní,
tj. buďto platí obě, nebo žádné, ale o tom, zda některé z nich platí, neříkají nic. L'Hospitalovým pravidlem si tedy můžeme vzorec (1) připomenout,
ale za současné situace nejde o důkaz.
Precizní důkaz (1) založený na hlubším studiu funkcí by se našel v Jarníkovi.

Jakýsi ne příliš korektní důkaz tohoto vzorce elementárními prostředky by se provedl shruba následovně:

Na jednotlovou kružnici se středem v P (počátek soustavy) naneseme v kladném smyslu oblouk malé kladné délky t , tak, aby počáteční bod oblouku byl
v bodě A = [1, 0], koncovým bodem oblouku bude B = [cos t, sin t] .

Označme C = [cos t, 0] (pata kolmice na osu x spuštěná z bodu B), D = [1, tg t] (průsečík př. PB s tečnou ke kružnici vedenou bodem A).

Nechť U je obsah trojúhelníka PCB, tedy U = (1/2) cos t sin t.

Nechť V je obsah kruhové výseče PAB, tedy V = t /2.

Nechť W je obsah trojúhelníka PAD, tedy W = (1/2) tg t.

Zřejmě U < V < W, tedy (1/2) cos t sin t < t /2 < (1/2) tg t , z toho

cos t < t / (sin t) < 1 / (cos t).

Obě "křídla" poslední nerovnosti mají pro t jdoucí k nule zprava společnou limitu 1 a proto - podle věty "o dvou policajtech" - má tutéž limitu
i prostřední člen t / (sin t) . Obdobně pro limitu zleva.

Tento důkaz není z přísného pohledu zcela korektní, neboť se částečně opírá o intuitivní vnímání geometrických vztahů.

Matematické Fórum

#1 22. 07. 2009 18:22

integrály

#2 22. 07. 2009 23:30 — Editoval gladiator01 (23. 07. 2009 10:12)

Re: integrály

#3 23. 07. 2009 09:06

Re: integrály

#4 23. 07. 2009 11:25

Re: integrály

#5 23. 07. 2009 11:59

Re: integrály

#6 23. 07. 2009 14:42

Re: integrály

#7 24. 07. 2009 14:40

Re: integrály

#8 24. 07. 2009 17:14 — Editoval Rumburak (24. 07. 2009 17:17)

Re: integrály

Zápatí