Matematické Fórum

MichalAld napsal(a):

Z pohledu formální logiky jsou (podle mě) axiomy nerozhodnutelná tvrzení.

Ne. Axiom je primární tvrzení každé teorie. Axiom je axiomem proto, že je a priori pravdivý.

Ještě jednou postulát (v dnešní terminologii axiom) o rovnoběžkách.

Je to jeden z n axiomů Euklidovské geometrie. Dva tisíce let se geometří snažili dokázat, že to není axiom, ale tvrzení odvoditelné ze zbývajících (n-1) axiomů. Těch (n-1) axiomů dnes definuje tzv. absolutní geometrii. Pro tuto absolutní geometrii je postulát o rovnoběžkách tvrzení, ale není to axiom, protože je v ní nerozhodnutelný a není mezi těmi (n-1) axiomy. Tím, že ho k nim přidáme, automaticky rozhodneme. Je to další axiom, který a priori (bez důkazu) považujeme za pravdivé tvrzení. Ale už nemáme geometrii absolutní, ale Euklidovskou.

K (n-1) axiomům absolutní geometrie ale můžeme přidat i tvrzení, které postulátu o rovnobežkách odporuje - to proto, že v abs. geometrii prostě můžeme vědět, zda je postulát pravdivý, anebo ne. Vezmeme tvrzení "daným bodem lze vést dvě rovnoběžky" a prohlásíme to za axiom, tj. za a priori pravdivé (tedy rozhodnutelné) tvrzení. Ale už nemáme geometrii absolutní, ani Euklidovskou, ale hyperbolickou.

Totéž tvrzení, které je v absolutní geometrii nerozhodnutelné (protože to v ní není axiom), je v Euklidovské i hyperbolické geomerii rozhodnutelné, protože každá ta teorie o pravdivosti toho tvrzení nějak (a priori - bez důkazu) rozhodla. Každá jinak, každá po svém a obojí je v pořádku.

Je-li nějaké tvrzení v nějaké teorii nerozhodnutelné, není to (v té teorii) axiom. Můžeš ho za axiom prohlásit. Tím se automaticky stává pravdou, ale už v jiné teorii, nikoli v té původní.

“ Je-li nějaké tvrzení v nějaké teorii nerozhodnutelné, není to (v té teorii) axiom. Můžeš ho za axiom prohlásit. Tím se automaticky stává pravdou, ale už v jiné teorii, nikoli v té původní.”
Tak to je v podstatě to samé, co říkám já, jen trochu jinak napsané.

No však ano, kdybychom axiom neprohlásili za platný, tak by to bylo nerozhodnutelné tvrzení. Samozřejmě že by to pak nebyl axiom.

Celé to funguje tak, že cheme s co nejméně axiomy dokázat co nejvíce trvzení. Takž když najdeme nějaký výrok X, který nelze pomocí stvajících axiomů (a odvozovacích pravidel) dokázat a ani nelze dokázat jeho negaci (ano, pak je X nerozhodnutelný), tak je vhodné uvažovat o tom, přidat X mezi axiomy (po tomto přidání však X už nerozhodnutelný výrok není, protože je axiomem a kždý axiom je dokazatelný). Samozřejmě není nutné přidávat přímo výrok X, ale nějaký jiný výrok Y, pro který rovněž platí totéž co pro X o té dokazatelnosti. To jestli zvolíme X nebo Y asi závisí na tom jak "složitý" tvar výrok má, mezi axiomy se snažíem dávat výroky co nejjednodušší....

... ovšem je nutné najít nějaké "vyvážení" mezo počtem axiomů a jejich složitostí - je vhodnější mít málo složitých axiomů a nebo více jednoduchých? Asi to záleží na konkrítní situaci.


V diskuzích výše vzniklo dost znatků oheldně tvrzení "axiom není dokazatelný". Je to ale tak jak píšu výše - nejdřív máme nějaký výrok X, který mezi axiomy nepatří, výrok X nelze dokázat a ani nelze dokázat jeho negaci - ovšem zatím X ještě není axiom. A právě to že nelze dokázat X ani nonX je důvod, proč je vhodné ho zařadit mezi axiomy - ovšem poté co X mezi axiomy zařadíme, již dokazatelný je.

↑ MichalAld:
My jsme ho neprohlásili za platný, my jsme ho prohlásili za axiom. A dokazaltelné tvrzení je podle definice takové tvrzení T, pro které existuje jeho důkaz, nebo přesněji, důkaz, jehož posledním členem je T. A důkaz je konečná posloupnost výroků taková, že její každý její prvek je buď axiom a nebo vznikl z nějakého odvozovacího pravidla pomocí nějakých předchozích členů této posloupnosti.

Pak existuej ještě pojem "platnost" nebo přesněji "splnitelnost", to je trochu něco jiného, to se definuje pomocí modelů, ale nakoenc se dá ukázat že dokazatelnost a splnitelnost jsou dvě ekvivaletní věci...

↑ check_drummer:
Podle mě je to jen taková hříčka, protože když něco prohlásíme za “axiom” tak to nic neznamená. Musíme k tomu někde na pozadí doplnit, že prohlásit něco za “axiom” znamená prohlásit to za platné. Bez toho to slovo “axiom” nic neznamená.

↑ MichalAld:
Znamená. Axiomy jsou základní stavební kameny, ze kterých můžeš konstruovat důkazy dalších tvrzení... Ale samozřejmě musíš říct co je to axiom, resp. definovat další pojmy, které definici pojmu axiom využívají (např. pojem "důkaz").

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Znamená. Axiomy jsou základní stavební kameny, ze kterých můžeš konstruovat důkazy dalších tvrzení...

To je určitě  hezká definice, ale já mám ještě hezčí - že axiomy jsou tvrzení, která platí i bez důkazů. Což ovšem vede na lehký paradox že se snažíme dokázat platnost něčeho, co platí i bez důkazů.

Protože když se snažíme dokázat platnost axiomu, potřebujeme k tomu jako vstup platnost onoho axiomu, což se dá ještě zřetězit, takže nakonec dostanene něco ve stylu

axiom_A => axiom_A => axiom_A => .... => axiom_A => axiom_A

a tím jsme nakonec "dokázali" platnost axiomu A (který ale z definice platí i bez dokazování)



Každopádně, pokud k definici toho, co je "důkaz" potřebujeme mít definováno co je "axiom" a k definici axiomu zase definováno co je důkaz, tak máme asi taky problém.

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Přesně tak - pojem "důkaz" totiž využívá pojem "axiom", takže nemůžeš v definici pojmu axiom použít slovo důkaz.

Hřebíček na hlavičku :-)

Řekl bych to asi tak:

Axiom nějaké teorie je formule, která je v této teorii a priori pravdivá.
Důkaz formule je výpis tvrzení, který začíná axiomy a končí dokazovanou formulí.
Dokazatelná formule je formule, ke které existuje důkz.
Pravdivost obecně neimplikuje dokazatelnost, takže (v tento okamžik) může být axiom nedokazatelný i v teorii, jejíž je součástí.

Striktně formálně vzato ovšem definici důkazu axiomu vyhovuje i axiom sám.

Příklad:

Tvrdím: Dvěma různými body prochází jediná přímka. (Axiom)
Důkaz: Dvěma různými body prochází jediná přímka.
           (konec důkazu)

"Výpis formulí"  požadovaný definicí důkazu začíná axiomem, končí dokazovanou formulí a obsahuje jedinou formuli.

Striktně formálně to sice důkaz je, ovšem bráno aspoň trochu věcně je to na hlavu. Osobně bych definici důkazu doplnil tím, že musí obsahovat aspoň dvě formule. Tím by axiom zůstat pravdivý,. ale stal se nedokazatelným.

Bylo by to něco proti něčemu?

↑ Eratosthenes:
Byla by to zbytečná komplikace a navíc to lze obejít tak, že bys ten důkaz mohl udělat tak, že na první místo toho důkazu dáš nějaký jiný axiom a na druhé místo toho důkazu dáš axiom který tě zajímá.

Ale nevím proč ti vadí že axiom je dokazatelný. Tím že bys ho prohlásil za nedokazatelný se všechno dost zkomplikuje.... A přestalo by platit docla dost vět v logice. a kdo ví jestli bys nedospěl do nějakého sporu - např. že axiom B by byl nedokazatelný, ale tvrzení (B a (1=1)) by už dokazatelné bylo...

Mně úplně stačí to, že pokud ten axiom z množiny axiomů vyřadíme, že pak už dokazatelný není, tak se podle mě má správný axiom chovat.

↑ check_drummer:

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ale nevím proč ti vadí že axiom je dokazatelný.

Upřímně - nevím to ani já. Prostě mi to nějak nesedí.

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
... a navíc to lze obejít tak, že bys ten důkaz mohl udělat tak, že na první místo toho důkazu dáš nějaký jiný axiom a na druhé místo toho důkazu dáš axiom který tě zajímá.

:-) Hezké - to mi nějak uniklo...

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
např. že axiom B by byl nedokazatelný, ale tvrzení (B a (1=1)) by už dokazatelné bylo...

Ano, to je přinejmenším podivné.

OK. Nějak se smířím s tím, že axiom je dokazatelný, protože dokazuje sám sebe :-)

↑ MichalAld:

To právě ne. Axiom jsme prohlásili za pravdivý, proto ještě není dokazatelný. Že je dokazatelný, to plyne až z definice důkazu.

Když si napíšete co to znamená že je výrok pravidvý a dokazatelný tak se to asi vyjasní.....