Matematické Fórum

↑ P@trik: Rovnicu ale netreba riešiť. Úlohou je vybrať jednu z možností.

vlado_bb napsal(a):

↑ P@trik: Rovnicu ale netreba riešiť.

Je spousta takových úloh, kde tu rovnici skutečně řešit nemusíš. Ale v tomto konkrétním případě ji naopak vyřešit musíš.

↑ vlado_bb:

Vím, že odpověd správná je za c)

Řekl jsem si, že když dám substituci

rovnice: eln(sinx)4..substituce...elnx=y...=sin4x nebo sinx4=sin2x..pak dám odečíst....sin4x-sin2x=0...a vyjde mi sin2x=0...podle vzorce sin2x plus cos2x=1 rozpracuji...takže 1-cos2x=0 a z toho určím periodu a potažmo ještě to samé i se znaménkem v absolutní hodnotě na -x. Rozepsal jsem to správně s tou substitucí a pak na konci normálně výsledek dám za substituci y=elnX....Děkuji za odpověď↑ Eratosthenes:

To je špatná odpověd. Trénuji si příklady na přijímačky a mám tam uvedeno, že jsou všechny odpovědi chybné kromě c). Na Google mě to vyjelo toto řešení:

Cituji Google

" The equation e^(4ln(sin x)) = sin(2|x|) simplifies to sin²(x) = |sin(2x)|. This occurs because the left side simplifies using logarithm and exponent rules, and the right side is rewritten using the double angle formula for sine. The resulting equation has solutions when sin²(x) is equal to both sin(2x) and -sin(2x), which translates to sin²(x) = 2sin(x)cos(x) and sin²(x) = -2sin(x)cos(x).
Here's a breakdown:
¨
1. Simplify the left side:
e^(4ln(sin x)) can be rewritten as e^(ln(sin x)^4) using the power rule of logarithms.
This simplifies further to (sin x)^4, or sin⁴(x).
According to a math website, since e^(ln(a)) = a, we have e^(4ln(sin x)) = sin⁴(x).

2. Simplify the right side:
The absolute value of sin(2x) can be expressed as two separate equations, sin(2x) when sin(2x) is positive or zero, and -sin(2x) when sin(2x) is negative.
sin(2x) can be expressed as 2sin(x)cos(x).

3. Equate and analyze:
Now the equation becomes sin⁴(x) = |sin(2x)|.
This means sin⁴(x) = 2sin(x)cos(x) when sin(2x) is positive or zero, and sin⁴(x) = -2sin(x)cos(x) when sin(2x) is negative.

4. Solutions:
The solutions for the equation sin⁴(x) = 2sin(x)cos(x) are x = kπ, x = π/4 + kπ/2, where k is an integer.
The solutions for the equation sin⁴(x) = -2sin(x)cos(x) are x = π/2 + kπ, x = 3π/4 + kπ, where k is an integer.
Combining these, we get the general solution: x = kπ/2, where k is an integer.

Tak nevím, jestli se Google mýlí nebo ne, ale v zadání mám správnou odpověď za c). Ta odpověď je označena jako:  Pokud x ∈ M, pak (x+2π) ∈ M a ve výsledku z Google mám odpověď  x = kπ/2, tak nevím jestli je to jedno a to samé nebo ne, ale ta podobnost s 2π tam je. Jen nevím, jestli je to upraveno nebo ne...

↑ P@trik:
Špatně jsi to zadal do Google, vpravo má být sin(abs(x))^2, nikoliv sin(2*abs(x)).
Myslím, že by také bylo dobré si ujasnit, jak ta rovnice doopravdy vypadá, než ji začneme vyhodnocovat. Z tvého zápisu se to dá interpretovat různě. Jde o rovnici [mathjax]\mathrm{e}^{4\cdot \ln(\sin x)}=\sin^2|x|[/mathjax]?

vlado_bb napsal(a):

↑ Eratosthenes: Nestačí si uvedomiť, že [mathjax]2\pi[/mathjax] je periódou funkcií na obidvoch stranách?

(Aj keď máš pravdu v tom, že nájsť riešenie je jednoduché.)

Nestačí.

Jak jsem psal výše - zadání jsem nějak automaticky interpretoval jako

[mathjax]\mathrm{e}^4\cdot \ln(\sin x)=\sin^2|x|[/mathjax]

A je to šťastný protipříklad - v tomto případě to určitě nestačí. A nestačí to určitě ani obecně. Dal bych protipříklad zcela jednoduchý, ale prozradil bych to asi příliš rychle:-)

↑ surovec:

ano, je to přesně tato rovnice, ale bez znaménka minus před ln

↑ vlado_bb:

dobře, takže stačí říct, že tento příklad nejde spočítat, ale jde odvodit jen na základě úpravy výrazu nebo jen na základě periody nebo jak můžu dospět k periodě 2 pi. Omlovám se, ale připravuji se na test a tento příklad by měl být jeden z lehčích ale goniometrie mě nikdy moc nešla

((:-)) napsal(a):

↑ P@trik:

Tak neviem...

Google dal riešenie x= k-násobok polovice pí.

Otázka: je pi k-násobek poloviny pi? Pokud ano, je to podle google řešení. Tak co kdybys to zkusil dosadit?

↑ Eratosthenes:

No - ja nebudem nič dosadzovať.

Plus podľa mňa k-násobok pí pol je proste celočíselný násobok polovice pí. Po dosadení (+2pí) znova vyjde celočíselný násobok pí pol a tak aj to patrí medzi riešenia. Či nie?

Napísala som zadávateľovi, o  čo v tom c) ide, čo má vlastne robiť, keď chce vedieť, či je c) správna odpoveď v zmysle googlovej odpovede, lebo sa mi javí, že on sa zamotáva do postupu riešenia rovnice miesto zisťovania, či sú splnené podmienky a), b), c), d).

Myslím, že zadávateľ pletie dohromady dve veci.

Okrem toho nerozumie, že základ prirodzeného logaritmu je e a preto z definície logaritmu sa výraz na ľavej strane rovnice dá veľmi zjednodušiť... (keď už tú rovnicu chce sám riešiť).

↑ ((:-)):

((:-)) napsal(a):

↑ Eratosthenes:

No - ja nebudem nič dosadzovať.

to je mi líto. Pak nemůžeš nic pochopit.

((:-)) napsal(a):

↑ Eratosthenes:

Plus podľa mňa k-násobok pí pol je proste celočíselný násobok polovice pí. Po dosadení (+2pí) znova vyjde celočíselný násobok pí pol

Ano.

((:-)) napsal(a):

↑ Eratosthenes:

Po dosadení (+2pí) znova vyjde celočíselný násobok pí pol a tak aj to patrí medzi riešenia. Či nie?

Ne.

↑ Eratosthenes:
Zvláštní, mně WA ukazuje (a také blbě), že celočíselné řešení je 0 a pak našel ještě jedno numerické řešení -56,54866... (což je -18pi).
Na číselné ose pak přitom zobrazuje [mathjax]k\cdot \frac{\pi}{2}[/mathjax] a na grafu funkcí pak jen [mathjax]-\frac{\pi}{2},0,\frac{\pi}{2}[/mathjax].
Tak v tom má dobrej hokej...

↑ Eratosthenes:

Otázka: je pi k-násobek poloviny pi? Pokud ano, je to podle google řešení. Tak co kdybys to zkusil dosadit?

Kam? Do zadania?

Ja hovorím o inom, o platnosti odpovede c).

A tak pí, ako aj pí+2pí patria do M, keď M je podľa google množina riešení tvaru k krát pí pol.

Ako píšeš tie symboly? Mne ani TEX ani  MJB nefunguje :-(