Matematické Fórum

↑↑ MichalAld:

Co znamená - prohlásit za dokazatelný?

Matematika nic neprohlašuje. Matematika definuje, tvrdí, dokazuje. Takže to "prohlášení" má být definice, věta, anebo důkaz?

↑ MichalAld:

"Nechť výrok V je dokazatelný" není ani definice, ani věta, ani důkaz. Je to předpoklad něčeho.

Má-li být "prohlášení dokazatelnosti axiomu" definicí axiomu, musí definice axiomu vypadat takto:

Formule A je axiomem právě tehdy, když je dokazatelná

anebo

Formule A je axiomem tehdy a jen tehdy, když je dokazatelná.

což je totéž.

To by pak ovšem  axiomem byla každá dokazatelná formule. A to rozhodně není.

check_drummer napsal(a):

Už jsem to asi psal, ale nesnažil bych se explicitně definovat co je to axiom, stejně tak explicitně nedefinujeme co je to množina....

On to je trochu rozdíl. Explicitně množinu sice nedefinujeme, ale definuješ ji "implicitně"  - logickou formulí:

[mathjax](\exists x)(x=x)[/mathjax]

A máš množinu. Jak chceš definovat axiom (ať už explicitně, anebo "implicitně")? Nějak ho přece definovat musíš. Nedefinované pojmy jsou v matematice fuj. Tak aspoň metadefinice (třeba tak): Axiom je formule, která je apriori pravdivá.

↑ MichalAld:
Jak něco definuješ jako pravdivé?

My sme sa učili, že axiómy sa nedokazujú, považujú sa za pravdivé.

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Axiom jak jsem psal definuju taky implikicitně, a sice pomocí pojmu důkaz.

Snad naopak, ne? Důkaz pomocí axiomu.

Jak se to vezme, já vlastně axiom nijak nedefinuju - je to prostě nějaká množina výroků....  A tu pak použiju při definici důkazu. Takže ano, důkaz definuju pomocí axiomu, ale díky této definici se "ozřejmí" co to axiom je. Já ani nemám potřebu axiom definovat, stačí mi říct že je to prostě nějaká množina výroků (ovšem aby měly smysl musí být bezesporné a ideálně i nezávislé). Ale takových množin výroků můžu mít plno - a teprve to že tuto množinu použiju v pojmu "důkaz" ozřejmí co to ten axiom je...

Eratosthenes napsal(a):

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Mám množinu A obsahující výroky (které označím jako axiomy)

Každý výrok musí být pravdivý, anebo nepravdivý. Jak rozhodneš o pravdivosti výroků, které jsi "označil jako axiomy"?

A jsme zase u toho  - co znamená že výrok je pravdivý? Co je dokazatelný to už je jasné, ale jak definuješ pravdivý výrok?

↑ Eratosthenes:
Pravda a nepravda není model, ale ty pojmy spolu souvisí. Pravdivost se opravdu definuje tak, že každému výroku přiřadí hodnotu pravda nebo nepravda - ovšem v závislosti na modelu.

A o pravdivosti axiomů nemusím uvažovat. Aby totiž nějaká množina byla modelem, tak podle definice v ní musí být pravdivé všechny axiomy. Takže nemusím zkoumat kdy je axiom pravidvý, ten je totiž podle definice pravdivý v každém modelu...

Eratosthenes napsal(a):

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
... kdy je axiom pravidvý, ten je totiž podle definice pravdivý v každém modelu...

Podle jaké definice? Tvrdils, že axiom definovat nelze. A když jsem napsal, že axiom je apriori pravdivý, tak jsi nevěděl, co znamená "pravdivý".

Takže jsem rád, že už to víš a asi bych té diskuse nechal.

To ale nemyslím definici axiomu, ale definici modelu.