Matematické Fórum

Není ten Eratosthenes magor?


Zde

líčí, jak je trisekce úhlu neřešitelná a v tomto tématu to chce vyřešit učivem ZŠ!

Jde to, ale má to jeden malý háček a jeden velký hák.

Nejdříve klasické znění úlohy:

Pouze pravítkem a kružítkem rozděl (teoreticky zcela přesně) libovolný úhel na třetiny.
Upřesňuji, že úhel je dán třemi body AVB, které neleží na přímce.
Bod je buď dán zadáním, anebo sestrojen pouze jako průsečík dvou sestrojených přímek, dvou sestrojených kružnic, anebo sestrojené přímky a sestrojené kružnice.
Přímka je sestrojena, jsou-li sestrojeny dva její různé body.
Kružnice je sestrojena, je-li sestrojen její střed a jeden její bod.
Pravítkem se rozumí rovná lať bez jakáchkoli značek, kružítkem lze sestrojit kružnici, ale nelze jím přenášet vzdálenosti (antickým kružítkem to totiž opravdu nešlo).

Takto zadaná úloha je opravdu neřešitelná. Takže první háček (lépe řečeno berlička, ulehčení):

Na pravítku, které lze přenášet, jsou vyznačeny dva různé body (na jejich vzdálenosti nezáleží).

Úloha rázem řešitelná je a sestrojit teoreticky přesnou třetinu daného úhlu zvládne i žák ZŠ. A jak podtitul tématu napovídá - teoreticky vzato by měl být schopen konstrukci i dokázat - k důkazu není potřeba skutečně nic víc než učivo ZŠ. A zde je asi pro ZŠ ten velký hák: jednotlivé souvislosti objevit, poskládat a celý důkaz sestavit, to by se žákovi ZŠ povedlo už  jen velmi, ale opravdu velmi teoreticky. 

Povede se to vám?

Konstrukci prozradím:

Zadání:



Na rameno VA přenesu vzdálenost d



(bod A1 lze sestrojit i korektně euklidovsky, což jsem pro stručnost vynechal)



S je střed VA1, p;q rovnoběžka resp. kolmice k VB.

Přilož pravítko hranou na V ... a následuje jediný krok, který není euklidovsky korektní:



... C in q;  D in p

A hle:



úhel DVB je přesně 1/3 zadaného úhlu AVB.

Dokažte!