Matematické Fórum

↑ Dreambreaker:
Pokud jsem dobře pochopil zadání, tak se to ani nemusí řešit pomocí derivace.
Stačí si udělat náčrtek. Je-li dán poloměr kruhu, je strana vepsaného čtverce jednoznačně určena.
Délka strany vepsaného čtverce je R*odm(2).

↑ Dreambreaker:
Jak by se to řešilo užitím derivace mě momentálně nenapadá.
Pomocí derivace a extrému funkce se ale řeší úloha:
Do kružnice je vepsán obdélník, jak zvolit jeho rozměry, aby obsah byl maximální.
Vyjde čtverec.

Zkusil jsem to takhle a byl bych moc vděčný za komentáře - nejprve první rovnice jako úhlopříčka (průměr kružnice) čtverce (obdélníku)  a sice: 100 = a*a + b*b; - druhá rovnice jako obvod čtverce (obdélníku) a sice: o = 2*a + 2*b. Dále substitucí z první rovnice a dosazení do druhé po úpravách včetně první derivace vychází ta hodnota správně a to 5*1,414 (odmocnina ze dvou). Co myslíte? Mohlo by to tak být na základě zadání? Výsledek jako takový vychází. Díky.

Dobře, děkuji. Jsem v tom celkem nový, pokud jde hlavně o aplikace derivací :)

Dreambreaker napsal(a):

Já uvažoval tak, že ten obvod je tím větší, čím je větší strana.

Hele, aby to šlo řešit pomocí derivace, jak říkáš, musíme mít nějakou funkci, kterou budeme derivovat. Funkci závislou na nějakém parametru. Tohle zadání (čtverec vepsaný do kružnice) - ať koukám jak  koukám, nenapadá mě žádný rozumný způsob, jak z toho zadání vyrobit funkci. Vepsaný čtverec je prostě čtverec, co má uhlopříčku rovnou průměru té kružnice. Takový čtvertec je prostě jen jeden.

Jednu z možností zmínil Tuček, že nevpisujeme čtverec ale obdélník. Takových obdélníků lze sestrojit nekonečné množství, a je to přesně ta "jednoparametrická soustava" čtverců, kterou potřebujeme. Protože krom toho, že jsou vepsané, potřebujeme ještě jeden další parametr, abychom je sestrojili. Třeba poměr délek stran. Nebo jen délku strany, ono je to nakonec jedno.

No a abychom to mohli hledat pomocí derivace, musíme mít nějakou vlastnost, která pro naše řešení nabývá extrému (maximální nebo minimální hodnoty). Což je třeba plocha toho obdélníka. Pokud ji tedy vyjádříme jako funkci délky strany, můžeme ji zderivovat, položit nule a máme to.

Můžeme třeba vepsat do kružnice rovnoramenný trojúhelník, a hledat, při jakém vrcholovém úhlu bude mít největší plochu. Nebo tak něco. Vždycky musíme ale hledat ten extrém - takže musíme mít funkci, která nabývá extrému pro naše řešení. A abychom mohli mít funkci, která nabývá extrému, musíme mít primárně nějakou funkci.

Tipnu si že zadání by mohlo znít: ... vepište obdélník s maximálním obsahem. (Pro ty, kteří čtverec nepovažují za obdélník, nahradíme v zadání slovo "obdélník" slovem "pravoúhelník".)

↑ Dreambreaker:
Jako rozumím tomu, že do kruhu se vejdou i menší čverce, ale těm neříkáme "vepsané". Vepsaný je jen jeden. A větší už být nemůže, protože pak by mu rohy koukaly ven. Jenže aby to šlo řešit pomocí derivace, musí se ta vlastnost měnit spojitě. Takže úloha typu "najděte největší čtverec, který se celý vejde do kruhu" je sice hledání maxima, ale né maxima spojité funkce. Je to hledání maxima funkce, která má omezený definiční obor, a ta může mít kromě lokálních minim/maxim ještě také minima či maxima na hranicích svého definičního oboru - ta se ale nedají najít pomocí derivace.

Je to stejné jako trochu úsměvná úloha "najděte nejdelší možnou úsečku, která však nebude mít délku větší než 3 metry".

No hele, můžeš třeba bádat nad tím, jaký obdélník má při zadaném obvodu největší plochu.
Obdélník má strany a,b, obvod je o=2(a+b) a plocha je S=ab

Takže si vyjádříme plochu jako funkci délky jedné strany (třeba strany a, ale je to úplně jedno).
Ze vzorce pro obvod získáme b = o/2 - a, to dosadíme do vzorce pro plochu, tedy S= a(o/2-a) = a.(o/2)-a^2
Takže máme funkci jedné proměnné, plochu závislou na délce jedné ze stran, S(a).
No a ptáme se, kde tato funkce nabývá maxima. No a tam musí být derivace nulová.
Takže pokud umíme derivovat, tak:

S'(a) = o/2 - 2a = 0

a z toho dostaneme a = o/4, a dosazením do b=o/2-a získáme b=o/4, tedy b=a, tedy je to čtverec.

Jen upozorňuji, že tohle není obdélník vepsaný do kružnice.

↑ Dreambreaker:

Derivácia.

↑ Dreambreaker: Prvá derivácia poskytuje informáciu o monotónnosti funkcie, ak je na intervale kladná, funkcia je rastúca, ak záporná, tak klesajúca. Teda ak je na [mathjax](a,b)[/mathjax] kladná, na [mathjax](b,c)[/mathjax] záporná, tak v bode [mathjax]b[/mathjax] je maximum.

Dreambreaker napsal(a):

vlado_bb napsal(a):

↑ Dreambreaker: Prvá derivácia poskytuje informáciu o monotónnosti funkcie, ak je na intervale kladná, funkcia je rastúca, ak záporná, tak klesajúca. Teda ak je na [mathjax](a,b)[/mathjax] kladná, na [mathjax](b,c)[/mathjax] záporná, tak v bode [mathjax]b[/mathjax] je maximum.

Tomu taky rozumím; ale když chci hledat např. minimum a ne maximum, tak to musím zajistit jak? ....

Pokud to nevíš, tak tomuto

>>  Prvá derivácia poskytuje informáciu o monotónnosti funkcie, ak je na intervale kladná, funkcia je rastúca, ak záporná, tak klesajúca. Teda ak je na [mathjax](a,b)[/mathjax] kladná, na [mathjax](b,c)[/mathjax] záporná, tak v bode [mathjax]b[/mathjax] je maximum.

nerozumíš.

Dreambreaker napsal(a):

vlado_bb napsal(a):

↑ Dreambreaker: Prvá derivácia poskytuje informáciu o monotónnosti funkcie, ak je na intervale kladná, funkcia je rastúca, ak záporná, tak klesajúca. Teda ak je na [mathjax](a,b)[/mathjax] kladná, na [mathjax](b,c)[/mathjax] záporná, tak v bode [mathjax]b[/mathjax] je maximum.

Tomu taky rozumím; ale když chci hledat např. minimum a ne maximum, tak to musím zajistit jak? Že to zrealizuji logickou úvahou? (Myslím tu realizaci funkce k následnému derivování)

Je to dost komplikované, když to chceš do všech důsledků. Každopádně platí (u hladké funkce, kde ta derivace existuje), že když má funkce lokální maximum, tak je v něm derivace nulová. Když má lokální minimum, tak je tam derivace nulová taky.

Naopak je to ale složitější. Když je derivace nulová, může to představovat celou řadu variant.
- může to být lokální minimum
- může to být lokální maximum
- může jít o konstantní funkci (alespoň v nějaké části)
- může to být inflexní bod (funkce x^3 má v bodě 0 inflexní bod)

Doufám, že další varianty už nejsou. Abychom rozhodli, o kterou z těchto variant se jedná, použijeme buď selský rozum (což bych doporučoval zkusit vždycky) nebo druhou derivaci (derivaci derivace). Pokud je druhá derivace > 0 jde o lokální minimum, pokud je druhá derivace < 0 jde o lokální maximum. Taky je to možná obráceně, když si nebudeš jistý, vyzkoušej si to na funkcy y=x^2. Pokud je i druhá derivace nulová...no, modli se, aby tě to nepotkalo.


Častokrát je to ale jedno, jestli hledáš minimum nebo maximum. Ono stačí danou funkci vynásobit (-1) a z minima je maximum.
Taky né vždycky to má pro všechny hodnoty "fyzikální význam". Třeba obvod či plocha útvaru nemůže být záporná. Takže když víme, že obdélník daného obvodu má vždycky kladnou plochu, případně (téměř) nulovou, tak víme, že jde o maximum. A záporné plochy jaksi neuvažujeme (a obdélníky co mají stranu delší než polovina obvodu taky né). Ale někdy to není dopředu jasné, jindy může mít funkce i maximum i minimum, případně mít těch lokálních extrémů více.

V technické praxi se říká, že správně formulovat úlohu je mnohem větší problém, než ji pak vyřešit.