Matematické Fórum

Já se v tom trochu strácím, co ti vlastně není jasné. A to tvé používání symbolu [mathjax]\partial[/mathjax] to teda moc neusnadňuje.

Odvodit se to dá i korektně, ale není z toho žádný užitek, jen se to tím celé zamotá. Každopádně, když se ve fyzice používá to [mathjax]\Delta[/mathjax], nejde zpravidla o diferenční rovnici, ale o linearizovanou verzi té diferenciální, tedy, že se předpokládá, že to [mathjax]\Delta[/mathjax] delta je nějaké velmi malinké. Ono se to tak hezky představuje.

Problém totiž je, že fyziální zákony máme zpravidla formulované v té integrální podobě, a na diferenciální tvar si je už musíme nějak převést. Takže třeba zákon zachování hybnosti říká, že celková hybnost se zachovává, a dál už si s tím musíme nějak poradit.

První věc:
Když tedy vidíme někde to [mathjax]\Delta[/mathjax], tak si tam musíme (v hlavě) doplnit tu definici limity a derivace. Takže když je někde uvedeno třeba

[mathjax]\varrho = \frac{\Delta m}{\Delta V}[/mathjax]

je tím myšleno

[mathjax]\varrho = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta m}{\Delta V}[/mathjax]

přesněji ještě

[mathjax]\varrho_{(\Delta V)} = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta m_{(\Delta V)}}{\Delta V}[/mathjax]

Ve fyzice při takovýchto odvozeních musíme pořád sledovat, co které písmenko je funkcí čeho.

No a když se konečně dostaneme k Ciolkovského rovnici:

Celková hybnost se zachovává, tedy hybnost rakety a hybnost spalin dohromady je konstantní.

[mathjax]P_{rakety} + P_{spalin} = const[/mathjax]

Pokud se to tedy zachovává (v čase), znamená to, že se to v čase nemění, tedy když to zderivujeme podle času, tak dostaneme nulu.

[mathjax]\frac{d}{dt}P_{rakety} + \frac{d}{dt}P_{spalin} = 0[/mathjax]

Pokud jde o spaliny, je to o dost komplikovanější.
Protože spaliny nemají jednu konstantní rychlost, rychlost každého elementu těch spalin závisí na tom, kdy raketu opustily. Celková hybnost spalin by tedy musela být vyjádřena pomocí integrálu:

[mathjax]p = \int v dm = \int v_{(m)} dm[/mathjax]

Už tady se nám selský rozum trochu cuká, při představě "rychlosti jako funkce hmotnosti" a musíme se chvíli snažit, abychom tomu dali rozumný smysl. A věc se ještě víc zkomplikuje když si uvědomíme, že ta m - hmotnost je sama funkcí času.

Nakonec nám to ale začne dávat smysl, že jak hmotnost, tak i hybnost je prostě funkcí času.


Jenže - jednak my tu závislos rychlosti na čase (ani na hmotnosi) neznáme, a hlavně - my ji vůbec znát nepotřebujeme. Protože nám stačí, když se nějak dopracujeme ke vztahu pro časovou změnu hybnosti. K té derivaci podle času. Zrovna teď. A co bylo dřív, to nás nemusí zajímat.

No a víme, že když k už existujícím spalinám přihodíme těch pár dalších atomů, o hmotnosti [mathjax]\Delta m[/mathjax] a rychlosti v, budou mít hybnost [mathjax]\Delta p = v \cdot \Delta m[/mathjax]. Požadavek je, aby těch pár atomů mělo stejnou rychlost. Jinak by nám z toho zase vznikl integrál. My samozřejmě víme, že úplně stejnou rychlost mít nebudou, ale skoro. No a pak si tam představíme ten symbol limity, a je to.

Dále si představíme, že se to celé odehraje v nějakém kraťoučkém časovém okamžiku [mathjax]\Delta t[/mathjax]. A dostaneme

[mathjax]\frac{\Delta p}{\Delta t} = v \cdot \frac{\Delta m}{\Delta t}[/mathjax]

Doplníme si tam symbol limity a dostaneme:

[mathjax]\frac{d p}{d t} = v \cdot \frac{d m}{d t}[/mathjax]

To už jsou obyčejné derivace. Jen pořád musíme mít na mysli, že p, m i v jsou funkce času, tedy p(t), m(t) i v(t).

A že jsou to obecně jiné p,m,v než v případě rakety.

Už jsme skoro u konce, ale ten asi nejabstraktnější krok nás teprve čeká:

[mathjax]\Large  m \frac{dv}{dt} + v_e \frac{dm}{dt}= 0[/mathjax]


máme jednu rovnici, ale dvě neznámé funkce, m = m(t) a v = v(t). To z jedné rovnice nezískáme. Museli bychom přidat nějakou další.

Ale můžeme zkusit odstranit ten čas. Vyjádřit přímo závislost rychlosti na hmotnosti. Matematicky to znamená, že funkci

m = m(t)

nahradíme její inverzí, tedy [mathjax]t = m^{-1}(m)[/mathjax]

Když si tedy vzpomenem na věty o derivacích složené a inverzní funkce, tak časem dojdeme k tomu, že

[mathjax]\Large  \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dm} \cdot \frac{dm}{dt}[/mathjax]

Takže z rovnice dostaneme

[mathjax]\Large  m \frac{dv}{dm} \cdot \frac{dm}{dt} + v_e \frac{dm}{dt}= 0[/mathjax]

člen [mathjax]\frac{dm}{dt}[/mathjax] vykrátíme a máme hledanou diferenciální rovnici

[mathjax]\Large  m \frac{dv}{dm} + v_e = 0[/mathjax]

Hmotnost m je sice pořád funkcí času, ale tu z této rovnice už nezískáme, to jsme obětovali. Takže teď už je m nezávislá proměnná a né funkce.

Někde jsem tam ještě udělal chybu ve znaménku, to už ponechávám jako domácí úkol si to najít. Ale je taky možné, že správně je tohle a chybně je to na té wiki, protože to by znamenalo, že záporná změna hmotnosti (pokles hmotnosti rakety) vede na zápornou změnu rychlosti (pokles rychlosti rakety) takže správně je spíš tohle.

Nejspíš to pochází z toho, že oni uvažují [mathjax]m - dm[/mathjax] a my [mathjax]m + dm[/mathjax] s tím že dm je záporné.