Matematické Fórum

Ahoj,

↑ Bati:
Sice jsem se tomu systematicky moc nevěnoval, ale byla by nějaká nápověda?

Pokud nikdo nic, naznacim reseni ale za trest pridam par dalsich otazek:D

Staci proste obe strany te rovnice zintegrovat. Misto zadane rovnice ale vezmeme
[mathjax](x-y)\partial_{xy}^2u=\partial_xu-\partial_yu[/mathjax]
aby se to lepe pocitalo a pripad [mathjax]x-y\to0[/mathjax] nechme zatim stranou. Integraci per partes dostavam na leve strane
[mathjax]\int(x-y)\partial_{xy}^2u\,dx=(x-y)\partial_yu-\int\partial_yu\,dx[/mathjax]
a na prave strane
[mathjax]\int(\partial_xu-\partial_yu)dx=u-\int\partial_yu\,dx[/mathjax].
Posledni integraly se tedy odectou, ale pozor na integracni konstantu, ktera navic muze zaviset na y! Oznacim ji schvalne [mathjax]g'(y)[/mathjax]. Z toho tedy dostavam rovnici
[mathjax](x-y)\partial_yu=u+g'(y)[/mathjax].
Integrace obou stran podle y dava
[mathjax](x-y)u+\int u\,dy=\int u\,dy+g(y)[/mathjax],
takze mi vznika dalsi integracni konstanta [mathjax]f(x)[/mathjax]. Takze dostavam vysledek
[mathjax]u(x,y)=\frac{f(x)+g(y)}{x-y}[/mathjax],
kde [mathjax]f,g[/mathjax] jsou "libovolne" funkce.

Duvod, proc jsem to dal sem na forum je ten, ze podle me hodne lidi ma zafixovano, ze jedina trida explicitne resitelnych hyp. rovnic jsou vlny. Priklad ukazuje, ze to tak byt nemusi, i kdyz souvislost s vlnovou rovnici tam urcite porad je. Pripominam, ze vlnova rovnice se da (substituci [mathjax]x=s+t[/mathjax], [mathjax]y=s-t[/mathjax]) prevest na tvar [mathjax]\partial_{st}^2v=0[/mathjax] s obecnym resenim [mathjax]v(s,t)=F(s)+G(t)[/mathjax]. Osobne mi prijde zajimava podbnost mezi strukturou reseni a prave strany rovnice, ale to je asi jen "nahoda".

Dalsi otazky:

1) (lehka) Jak to vypada ve vice dimenzich. Rada: Zkuste funkce typu [mathjax]\frac{\sum_if_i(x_i)}{\sum_ix_i}[/mathjax]

2) (stredni) Zkusit najit obecnejsi takove funkce s podobnymi vlastnostmi. Jak by napr. vypadala rovnice odpovidajici vaze [mathjax](x-y)^p[/mathjax]?

3) (tezsi) Muze byt reseni definovano i na primce x=y? Co musi splnovat [mathjax]f,g[/mathjax]?

4) (nejtezsi) Zkusit prijit na to, k cemu by se to dalo pouzit:)