Matematické Fórum

Jen idea:

Skrytý text:

Když se omezím na , tak (nehezky zapsáno) . Tedy by to mohlo svádět k použití l'Hospitala: , což by mohlo svádět k tomu, že ().

Jenže to je - myslím si - stejný omyl jako že "".

Výsledek bude asi 1, ale ještě se to pokusím nějak lépe zformulovat než jen tak, že čitatel i jmenovatel se "po pár krocích" aproximuje identitou.

Skrytý text:

Stydím se, jak hrubě se vyjadřuji, ale...

...nemám náhodou aspoň trochu pravdu, když si myslím, že stejně to vyjde, tedy , když místo sinu použijeme v definici funkce třeba libovolnou reálnou rostoucí funkci s (analogicky pro klesající s derivací v nule rovnou -1), Mariáne?

Mám na mysli třeba , (s na nějakém vhodném okolí nuly, samozřejmě) atp. Jen ze zájmu jsem si to zkoušel na pár příkladech a mohlo by to platit.

↑ musixx:

↑ musixx:

K tvé funkci a limitě , kde a :

Není příliš těžké limitu pro spočítat. Výsledek pro obecná A, B, a, b (kde ) je

Skrytý text:

Skrytý text:
pro vyjde limita 1 a pro existuje limita pouze pokud , limita je tedy také 1.

Zdravím,
moc hezký příklad, řešením bohužel moc nerozumím, ale zřejmě souvisí s jedním problémem, na který jsem nedávno narazil, jde o rovnici
, kterou lze řešit standardními numerickými metodami, ale taky takhle:
, kde je reálné číslo. Můj dotaz je prostý: proč to vychází? :) jinými slovy (když se přidržím zápisu původního příkladu) proč je řešením  $x=\lim_{n\rightarrow\infty}\cos_n(k)$, (v def. posloupnosti nahradíme sin za cos)

↑ FliegenderZirkus:
Ještě poznámka ke zmiňovanému Banachovu principu:

Pro funkci cos  Banachova věta funguje, neboť  pro libovolné počáteční pak padne do uzavřeného intervalu [-1, 1 ] ,
a rovněž další iterace v něm zůstanou, navíc na tomto intervalu fce f = cos splňuje podmínku Banachovy věty
s kontrahující konstantou  K < 1  (ostrá nerovnost) .

Stejnětak bychom mohli postupovat pro rovnici  x = sin x , tedy hledat limitu posloupnosti iterací  fce f = sin na libovolně danou počáteční hodnotu
a dospěli bychom rovněž ke správnému  řešení, a sice  x = 0 , ale zde to Banachovou větou odůvodnit nelze, neboť v tomto případě
konstanta K < 1 (ostrá nerovnost) z předpokladů Banachovy věty neexistuje -  muselo by se odůvodnění hledat jinak (nebo vzít vhodnou
jemnější větu o pevném bodě, než je Banachova).

Řešení, které jsem  našel společně s úlohou využívalo faktu, že pro dostatečně velká přirozená čísla platí


To se dokazovalo tím způsobem, že se našel docela snadný odhad funkce sinus pomocí Maclaurinvy řady. Je ale jasné, že řešení uvedené výše je výrazně snažší.