Matematické Fórum

↑↑ rimidalv:
Já jsem ti výše ukázal rovnost mezi součtem třetích mocnin, o kterých jsi tvrdil že pro ně harmonie nedosáhneš, jak to vysvětlíš? Znovu sem tu rovnost napíšu:

[mathjax]7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 17^3 = 20^3[/mathjax]

rimidalv napsal(a):

aplikujeme r = (b^2 - a^2}/2,

Proč volíš tento vztah?

1. Proč volím [mathjax]r = {b^2 - a^2}/2 ? (Rozdělení čtverce) Představ si čtverec o obsahu c^2. Diagonála ho dělí na dvě poloviny c^2 /2. Abychom z těchto dvou polovin dostali dva jiné čtverce a^2 a b^2), musíme k jedné polovině r  přičíst a od druhé r odečíst. b^2 = {c^2/2 + r    a^2 = {c^2}/2 - r Z toho jednoduchou úpravou plyne právě r = {b^2 - a^2}/ 2. Toto r je klíčem k transformaci plochy.

2. Co je aritmetická posloupnost 2. řádu?To jsou čtverce celých čísel ([/mathjax]1, 4, 9, 16, 25 \dots$). Jejich druhé diference jsou konstantní (rovny 2). To, že jsou 'obsahy v souladu s posloupností', znamená, že pro určité hodnoty c existuje takové racionální r, které nás 'trefí' přesně do jiných dvou prvků této posloupnosti a^2  a  b^2. U druhé mocniny je tato mřížka díky své hustotě a symetrii čtverce propustná.

3. O podobnost jakých trojúhelníků jde?Jde o trojúhelníky, které vzniknou v grafu rozdělením plochy pod křivkou.U n=2  (čtverec) operujeme s trojúhelníky, jejichž odvěsny jsou v poměru, který odpovídá goniometrickým funkcím racionálních úhlů. Geometrický tvar (podoba) se při změně měřítka nemění.U n=3 se pokoušíš o totéž s obdélníkem o ploše t^3. Aby ses dopracoval k součtu dvou třetích mocnin, musel bys použít  r, které v 2D ploše grafu vždy rozbije podobnost původního útvaru. Výsledné 'trojúhelníky' už nebudou mít stejný sklon (úhel \alpha, což znamená, že jsi opustil model rovnoměrného růstu.

Závěr:Moje 'zajímavost' ukazuje, že sčítání čtverců n=2 je v geometrii roviny přirozená operace dělení celku na dvě podobné části. Jakmile zkusíš totéž u n=3, geometrie (plocha) se vzepře aritmetice (mocnině). Nenajdeš takové  r, které by v 2D ploše grafu vytvořilo dvě třetí mocniny a zároveň zachovalo podobnost a celočíselnost hran. Dvojka je unikátní bod, kde plocha a mocnina mluví stejným jazykem.“

Rád ti to popíšu naprosto přesně a názorně.

Představ si graf rovnoměrně zrychleného pohybu (osa x=cčas t, osa y=rychlost v). Rychlost roste lineárně (v=a⋅t). Výsledným grafickým útvarem je pravoúhlý trojúhelník a plocha pod ním (uražená dráha) je vyjádřena integrálem/plochou tohoto trojúhelníku.

Tento trojúhelník je základem mého obdélníkového modelu (a=t, b=t^n−1).
Jak tu plochu přesně dělím:

Vezměme celkovou plochu tohoto modelu, která reprezentuje hodnotu c^n.
1. Pro n=2 (Svět čtverce)

    Máme čtverec o straně t a ploše c2=t*⋅t=t^2.

    Rozdělení: Úhlopříčka tento čtverec rozdělí na dvě poloviny o obsahu c^2​/2.

    Aplikace filtru (r): K jedné polovině přičtu a od druhé odečtu hodnotu r=(b2−a2)/2​.

    Výsledek: Získám dvě nové plochy (a^2 a b^2). Protože posloupnost druhých mocnin je aritmetická posloupnost 2. řádu, toto r nás v euklidovské mřížce posune přesně do bodů, kde a,b,c jsou celá čísla (Pythagorejské trojice).

    Podobnost: Výsledné trojúhelníky mají stále konstantní sklon (úhel α neboli zrychlení se nemění). Geometrická podoba útvaru se nezlomila.

2. Pro n=3 (Svět obdélníku)

    Máme obdélník o stranách a=t a b=t^2. Jeho celková plocha je c3=t*t^2=t^3.

    Rozdělení: Úhlopříčka tento obdélník opět rozdělí na dvě poloviny o obsahu c^3/2​.

    Pokus o aplikaci filtru (r): Abychom získali dvě třetí mocniny (a^3 a b^3), museli bychom aplikovat r=(b^3−a^3)/2​.

    Rozpad: Jenže posloupnost třetích mocnin je už 3. řádu. V této 2D ploše grafu neexistuje žádné racionální r, které by dokázalo tento obdélník rozdělit na dvě třetí mocniny a zároveň zachovat lineární podobnost stran. Jakmile se o to pokusíš, změní se směrnice (úhel α), což znamená, že výsledné útvary už nejsou podobné původnímu euklidovskému modelu.

Závěr pro tebe:

U n=2 dělím symetrický čtverec – matematika mocnin je v dokonalém souladu s 2D plochou. U n=3 dělím asymetrický obdélník a v 2D grafu se tato operace geometricky zhroutí do iracionálních čísel. Proto Velká Fermatova věta pro n>2 nemá v celých číslech řešení.“

To jsou naprosto legitimní otázky. Přechod od grafu ke čtverci je čistě geometrická záležitost a hodnota c z ní přirozeně vyplývá.

1. Jak přejdu od grafu ke čtverci?V grafu pohybu (v/t) tvoří odvěsny čas t a rychlost v. Pro zjednodušení zvolme jednotkové zrychlení, tedy v = t. V ten moment mají odvěsny v grafu stejnou délku (t a t). Geometrickým útvarem, který definuje celkovou plochu tohoto systému (když trojúhelník pod přímkou doplníme na symetrický celek), je čtverec o straně t. Jeho celková plocha je t^2.

2. Jak definuji hodnotu c?Hodnota c v mém modelu reprezentuje přeponu tohoto pravoúhlého trojúhelníku (diagonálu čtverce).Fermatova (a Pythagorova) rovnice se ptá, zda lze plochu tohoto čtverce (t^2) vyjádřit jako součet dvou menších čtverců s celočíselnými stranami a^2 + b^2. Hodnota c je tedy přímo svázána s proměnnou t.

3. Je hodnota t libovolná, nebo pevně zvolená?Hodnota t je proměnná z oboru celých čísel (\mathbb{Z}). Můj model neplatí jen pro jedno konkrétní číslo, ale pro jakékoliv celočíselné t. U n=2: Protože se pohybujeme ve čtvercové mřížce (2. řád), pro určitá celá čísla t (např. t=5) dokáže filtr r = (b^2 - a^2)/2} rozdělit plochu t^2 na dva menší čtverce (3^2 + 4^2 = 5^2) tak, že všechny strany (a, b, c) zůstanou celočíselnými délkami na našich osách a úhel \alpha (podobnost) se neporuší.U n=3: Zde je  b = t^{n-1} = t^2. Grafickým útvarem už není čtverec, ale obdélník o stranách t a t^2. Jeho plocha je t^3. Pokud zvolíš jakékoliv celočíselné t, neexistuje v 2D rovině grafu žádné racionální r, které by tento obdélník rozdělilo na dvě třetí mocniny a zachovalo celočíselnost hran i podobnost útvarů.

Shrnutí:Hodnota t je libovolné celé číslo a c  je strana (přepona) výsledného invariantního útvaru. Můj model ukazuje, že pouze kvadratický euklidovský prostor (n=2) umožňuje, aby se proměnná t v grafu potkala s celočíselným řešením rovnice. U vyšších n se tato vazba trhá.

Máš pravdu, zjednodušil jsem to až moc a vzniklo nedorozumění. Samozřejmě nechceme rozdělovat obdélník na třetí mocniny. Nechme stranou nepřesné obraty a pojďme k exaktní geometrické interpretaci toho, co ten model dělá.

1. Jak přesně dělím tu plochu?Plochu grafu (která má velikost t^3 a reprezentuje celkovou hodnotu c^3) dělím úhlopříčkou na dvě poloviny. K jedné polovině přičítám a od druhé odečítám hodnotu r = (b^3 - a^3)/2.Tímto rozdělením plochy získávám dvě nové dílčí plochy (S_1 a S_2) S_1 = c^3 /2 - r = a^3   S_2 = c^3 / 2  + r = b^3 Otázka Velké Fermatovy věty v mém modelu zní: Mohou tyto dvě dílčí plochy (S_1, S_2) mít velikost, která odpovídá třetím mocninám celých čísel a a b?

2. O podobnost jakých útvarů se jedná?Jedná se o pravoúhlé trojúhelníky v grafu, které tyto plochy ohraničují.U n=2 (Čtverec o ploše t^2): Když plochu rozdělím pomocí r = (b^2-a^2) /2, výsledné hodnoty a^2 a b^2 odpovídají čtvercům nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku. Tento trojúhelník si při změně velikosti (měřítka t) zachovává konstantní úhel alpha. To je ta podobnost útvarů. Geometrická struktura prostoru (2D mřížka) se nedeformuje.U n=3 (Obdélník o ploše t^3): Třetí mocnina vyžaduje k vyjádření objemu tři rozměry. My se ji ale pokoušíme reprezentovat v 2D grafu pohybu pomocí plochy. Pokud bychom chtěli najít takové r, aby plochy S_1 a [mathjax]S_2 byly celočíselnými třetími mocninami, vazba podobnosti se rozpadne. Úhel alpha (směrnice zrychlení) by se musel v mřížce pro každé [/mathjax]t$ měnit a lámat do iracionálních hodnot.

Závěr:Fermatova věta pro n=3 v mém modelu naráží na rozměrovou bariéru. Snažíme se v euklidovské rovině (2D) algebraicky pracovat s třetí mocninou (3D), ale geometrický filtr pravoúhlého trojúhelníku v grafu to nedovolí.Buď ztratíš celočíselnost hran (a, b, c budou iracionální odmocniny), nebo ztratíš podobnost útvarů v grafu. Pouze u n=2 jsou algebraický stupeň rovnice a dimenze plochy grafu v dokonalém souladu, který umožňuje celočíselná řešení.

↑ rimidalv:
K těm podobným útvarům - já tam zatím vidím jen jeden trojúhelník - s odvěsnami c,c, kde jsou ty další? To jsou trojúhelníky s odvěsnami a,a a b,b?