Matematické Fórum

Skrytý text:

Označme a .

Je , a protože pro prvočíslo , tak je jasné, že b(x) je identita vyjma jedničky a nuly, jejichž funkční hodnoty jsou prohozené. EDIT: Poslední součin je nula pro všechna x různá od 0 a 1 a je snadné se podívat, kolik je b(0) a b(1).

Jakékoli složeniny funkcí a tedy dají polynom , jehož funkční hodnoty jsou permutace z (0,1,2,...,p-1) - máme totiž k dispozici operaci transpozice prvních dvou prvků () a posunutí o jedničku ( - lze si též představit jako násobení cyklem (0,1,2,...,p-1)).

Faktorizací pomocí polynomu se toto pomocné tvrzení o funkčních hodnotách neztratí, protože je .

Je již polynom z W určen jednoznačně, známe-li žádané funkční hodnoty? Dle mě ano, protože tento polynom hledáme stupně nejvýše p-1 a Vandermondův determinant je v nenulový pro p prvočíslo, tedy existuje v jediný polynom (Langrangeův interpolační), který má p předepsaných funkčních hodnot a je stupně nejvýše p-1.

Z druhé strany je jasné, že každé pořadí funkčních hodnot je dosažitelné - jde jen o rozklad permutace p prvků pomocí cyklu (0,1,2,...,p-1) a transpozice prvního a druhého prvku.


EDIT2: Jak už to tak docela často bývá, je nutno vyloučit dvojku coby jediné sudé prvočíslo (polynom by pro p=2 nebyl bijekce na , resp. z toho jen náznakem zadaného tvaru není ani úplně jasné, jak b(x) pro p=2 vypadá). Ale proč je vyloučeno i p=3?