Matematické Fórum

simonaj1

tak tady mám na dobrou noc jeden integrál, ze kterého nejsem chytrá ani když ho jedu krok za krokem z wolframu a přes MAW jsem v půlce a pak také nevím co s tím... tak snad někdo poradíte
$\int{\frac{1}{sinx+2}dx}$ substituce $tg(\frac{x}{2})=t, x=2arctgt, dx=\frac{2}{1+t^2}dt, sinx=\frac{2t}{1+t^2}$ takže z toho pak mám $\int{\frac{2}{2t^2+2t+2}dt}=\int{\frac{1}{t^2+t+1}dt}$ no a pak jsem zakletá:-/

kaja(z_hajovny) · 01. 08. 2009 21:19

doplnit ve jmenovateli na ctverec, pak to jasne povede na arkustangens - bud primo nebo substituce

to x=arcsin(t) je preklep?

simonaj1 · 02. 08. 2009 08:01

↑ kaja(z_hajovny): ano, překlep, už jsem opravila

simonaj1

tak ještě dotaz... jak si musím upravit ten původní zlomek, abych z něj mohla substituovat $tg(\frac{x}{2})=t, x=2arctgt, dx=\frac{2}{1+t^2}dt, sinx=\frac{2t}{1+t^2}$ ?

Kondr · 02. 08. 2009 20:16

↑ simonaj1:Ty substituční vztahy ti říkají, co dosadit za x a za dx do původního zlomku. Spíš ti jde asi o to, jak z tg(x/2)=t udělat
$sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$ . Toho dosáhneš třeba takto $sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)=2tg(x/2)cos^2(x/2)=2t\cdot cos^2(x/2)$ , přitom $t^2=tg^2(x/2)=\frac{1-cos^2(x/2)}{cos^2(x/2)$ , takže $cos^2(x/2)=\frac{1}{1+t^2}$ , po dosazení za $cos^2(x/2)$ dostaneme požadované. (pro ostatní: vím, jde to elegantněji, ale nechci mást Simonu "kouzelnickými" úpravami.)

Matematické Fórum

#1 01. 08. 2009 20:54 — Editoval simonaj1 (02. 08. 2009 08:00)

integral se sinx+2 ve jmenovateli

#2 01. 08. 2009 21:19

Re: integral se sinx+2 ve jmenovateli

#3 02. 08. 2009 08:01

Re: integral se sinx+2 ve jmenovateli

#4 02. 08. 2009 10:10 — Editoval simonaj1 (02. 08. 2009 10:10)

Re: integral se sinx+2 ve jmenovateli

#5 02. 08. 2009 20:16

Re: integral se sinx+2 ve jmenovateli

Zápatí