Matematické Fórum

dex · 02. 08. 2009 13:59

Hoj,

lidi, prosím vás, pomozte mi sečíst tuto, pro vás asi triviální řadu...

$\sum_{i=1}i\cdot x^{i-1}$

Kondr · 02. 08. 2009 15:16

↑ dex:Stačí zintegrovat (dostaneme $C+\sum_{i=1}^{\infty}x^i$ ), sečíst (použijeme vzorec pro geometrickou řadu) a nakonec zderivovat.

dex · 02. 08. 2009 18:31

ach ta teorie :),

mockrát ti děkuji ...

dex · 03. 08. 2009 15:41

prosím tě, asi v tom kapánek plavu, ale mně to nejde zintegrovat, teda spíše mě tam matou ty "i", mohl by jsi mi to bo kdokoliv jiný přiblížit?...

Rumburak · 03. 08. 2009 16:22

$\int\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^{i-1} \text{d} x=\sum_{i=1}^{\infty}\int i\cdot x^{i-1}\text{d} x = \sum_{i=1}^{\infty}x^i \,+ C = x\sum_{i=1}^{\infty}x^{i-1} \,+ C = \frac {x}{1-x} \,+ C$ (sečetli jsme geom. řadu), takže zpětně
$\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^{i-1}=\frac {\text{d}}{\text{d} x} $\frac {x}{1-x} \,+ C$$ . Výpočet předpokládá, že -1 < x < 1 .

stenly · 03. 08. 2009 17:10

↑ dex:Pošli mi e-mail na st.sula@seznam.cz a já ti tu řadu pošlu vypočítanou na papíře!
Stenly

lukaszh · 03. 08. 2009 17:22

↑ stenly:
Cením si tvoju snahu, ale oveľa efektívnejšie by bolo keby si už síce vyriešený, príklad riešil tu. Existuje tu [img] obrázek [/img ] takže sa tu dajú prezerať aj obrázky a neoberieme ostatných účastníkov o pohľad na riešenie. Okrem toho predídeme chybám v riešení, vždy je lepšie keď sa vyjadria viacerí (týmto nepodceňujem tvoje vedomosti, ale aj majster tesár sa niekedy utne :-)

Kondr · 03. 08. 2009 19:37

Rumburak napsal(a):
Výpočet předpokládá, že -1 < x < 1 .

Je to opravdu nutné? Pokud bereme mocninnou řadu analyticky (jako zobrazení z reálných do reálných čísel), pak jistě. Ale pokud se na mocninnou řadu díváme algebraicky (jako na term), pak by tam podle mě ten předpoklad být nemusel.

dex · 03. 08. 2009 23:03 — Editoval dex (04. 08. 2009 11:26)

mockrát vám děkuji, dost to pomáhá, vkládám také řešení, které vypracoval Stenly

Kondr · 03. 08. 2009 23:06

↑ dex:Bohužel obrázek přímo z mailu nejde zobrazit. Zkus ho stáhnout k sobě a pak uploadnout na fórum.

dex · 04. 08. 2009 11:27

↑ Kondr: Omlouvám se, teď by mělo být vše ok :)

Rumburak

↑ Kondr:
Mně je bližší ten analytický přístup. To s tím termem mi není moc jasné, přesněji: neumím si představit, jak by se bez splnění předpokladu -1 < x < 1
dokazovalo, že levá strana výpočtu se rovná pravé straně. Tato moje nejasnost ale možná plyne z toho, že mi chybí nějaká důležitá znalost z algebry...

EDIT. Domýšlím se, že ten pohled "přes termy" znamená nespecifikovat podmínku -1 < x < 1 explicite , ale vyčíst ji z úlohy (?)

Kondr · 05. 08. 2009 19:39

↑ Rumburak:Na mocniné řady se můžeme dívat jako na posloupnosti reálných čísel, přičemž sčítání provádíme po složkách a násobení jako $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}\cdot \{g_n\}_{n=0}^{\infty}={\sum_{k=0}^i\{f_kg_{n-k}\}_{n=0}^{\infty}$ . Rovněž derivaci definujeme formálně -- řekneme, jak má měnit koeficienty. Symbol x přitom ztotožňujeme s řadou 0,1,0,0,.... a neřešíme, co za něj dosadit.

Alespoň tak nějak jsem pochopil článek http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series

Rumburak · 07. 08. 2009 12:35

↑ Kondr:
Hmmm, zajímavé.... Díky za námět k zamyšlení.

Matematické Fórum

#1 02. 08. 2009 13:59

mocninná řada

#2 02. 08. 2009 15:16

Re: mocninná řada

#3 02. 08. 2009 18:31

Re: mocninná řada

#4 03. 08. 2009 15:41

Re: mocninná řada

#5 03. 08. 2009 16:22

Re: mocninná řada

#6 03. 08. 2009 17:10

Re: mocninná řada

#7 03. 08. 2009 17:22

Re: mocninná řada

#8 03. 08. 2009 19:37

Re: mocninná řada

Rumburak napsal(a):

#9 03. 08. 2009 23:03 — Editoval dex (04. 08. 2009 11:26)

Re: mocninná řada

#10 03. 08. 2009 23:06

Re: mocninná řada

#11 04. 08. 2009 11:27

Re: mocninná řada

#12 05. 08. 2009 16:48 — Editoval Rumburak (05. 08. 2009 17:07)

Re: mocninná řada

#13 05. 08. 2009 19:39

Re: mocninná řada

#14 07. 08. 2009 12:35

Re: mocninná řada

Zápatí