Matematické Fórum

simonaj1

ahoj, mám tu jednu limitu, u které bych chtěla zkontrolovat řešení, jestli mohu počítat tak jak jsem počítala
${\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{sinx-sin\alpha}{x-\alpha}}={\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{sinx}{x-\alpha}-{\frac{sin\alpha}{x-\alpha}}}={\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{sinx}{x(1-\frac{\alpha}{x})}-\frac{sin\alpha}{\alpha(\frac{x}{\alpha}-1)}}=$
$={\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{1}{\frac{x-\alpha}{x}}-\frac{1}{\frac{x-\alpha}{\alpha}}}={\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{x}{x-\alpha}}-{\frac{\alpha}{x-\alpha}}={\frac{x-\alpha}{x-\alpha}}=1$
zvolila jsem tento postup, protože si myslím, že nelze použít l'hospitala a derivovat, když není jasně řečeno, že apha = 2, tudíž nemám důkaz na povinnou podmínku 0/0, jen potřebuji, aby se mi na to někdo mrknul a řekl mi, že jsem tam nedělala matematické nesmysly:-)

simonaj1

↑ simonaj1: myslím, že by to šlo i substitucí, když bych si dala, že $(x-\alpha)=t$ dostala bych ${\lim}\limits_{x \to \2}{\frac{sin(x-\alpha)}{(x-\alpha)}}={\lim}\limits_{t \to \2}{\frac{sint}{t}}=1$ je to kratší a výsledek je stejný:-)

musixx · 05. 08. 2009 17:07 — Editoval musixx (05. 08. 2009 17:11)

Takhle to nepůjde. $\alpha$ je zde jako parametr. A navíc $\lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=1$ a nikoli $\lim_{t\to2}\frac{\sin t}t=1$ (a kromě toho, když $x\to2$ a zavedeš $t=x-\alpha$ , pak $t\to2-\alpha$ ).

Je třeba se na to podívat takto: Když je $\alpha\neq2$ , pak stačí dosadit a výsledek je $\frac{\sin2-\sin\alpha}{2-\alpha}$ .

Když je $\alpha=2$ , pak je řeč o limitě $\lim_{x\to2}\frac{\sin x-\sin2}{x-2}$ , na což lze použít třeba l'Hospital a máme $\lim_{x\to2}\frac{\cos x-0}{1-0}=\cos 2$ .

simonaj1 · 05. 08. 2009 17:16

↑ musixx: aha, takže sinx/x = 1 jen když $x\to0$ ?

lukaszh

↑ simonaj1:
$\lim_{x\to2}\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin2}{2}\dot{=}0.017\ne1$

lukaszh · 05. 08. 2009 17:29

↑ simonaj1:
Dúfam, že si to nemyslela s tou úpravou takto
$\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}=\frac{\sin\cdot(x-\alpha)}{x-\alpha}$
To je hrubá chyba a nepochopenie základov matematiky. To by sme potom mohli
$\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}=\frac{\sin\cdot\cancel{(x-\alpha)}}{\cancel{x-\alpha}}=\sin$

halogan · 05. 08. 2009 17:56

OT: Ale výsledek je správný. Je to opravdu "hřích".

lukaszh · 05. 08. 2009 18:50

↑ halogan:
Myslíš to moje $\sin$ ? Ale nie, robím si legraci :-) Ako ten známy vtip
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin x}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\rm{si}\cancel{n}x}{\cancel{n}}=\rm{six}=6$ :-)

simonaj1

↑ lukaszh: vím co ve mě je, proto jsem se ptala jestli nedělám matematické koniny:-D ... njn, dělám:-(

halogan · 05. 08. 2009 20:19

↑ lukaszh:

No vždyť já taky. Jen se mi na telefonu nechtěl vypisovat smajlík ;-)

Six je suprový, stejně jako "find x" a podobné.

simonaj1 · 05. 08. 2009 21:56

↑ halogan: nejdřív jsem se ukrutně styděla za to co jsem schopná vyplodit... ale pak jsem si řekla... no co... chybama se člověk učí :-D tak popojedem... 2.září se kvapem blíží... snad se mi nic podobného nepovede v den D... ale kdyby to šlo, byla by to krásná zkratka, škoda jí:-D

Matematické Fórum

#1 05. 08. 2009 16:29 — Editoval simonaj1 (05. 08. 2009 16:44)

lim s alfou

#2 05. 08. 2009 16:40 — Editoval simonaj1 (05. 08. 2009 16:41)

Re: lim s alfou

#3 05. 08. 2009 17:07 — Editoval musixx (05. 08. 2009 17:11)

Re: lim s alfou

#4 05. 08. 2009 17:16

Re: lim s alfou

#5 05. 08. 2009 17:26 — Editoval lukaszh (05. 08. 2009 17:26)

Re: lim s alfou

#6 05. 08. 2009 17:29

Re: lim s alfou

#7 05. 08. 2009 17:56

Re: lim s alfou

#8 05. 08. 2009 18:50

Re: lim s alfou

#9 05. 08. 2009 19:25 — Editoval simonaj1 (05. 08. 2009 19:25)

Re: lim s alfou

#10 05. 08. 2009 20:19

Re: lim s alfou

#11 05. 08. 2009 21:56

Re: lim s alfou

Zápatí