Matematické Fórum

Crusty · 06. 08. 2009 16:17 — Editoval Crusty (06. 08. 2009 16:18)

prosim poradte nemam tuseni:

nevim co udelat s

dekuji

musixx · 06. 08. 2009 16:30 — Editoval musixx (06. 08. 2009 16:42)

Použít vzorec $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ pro $\alpha=x$ a $\beta=2x$ . Pak vzorce na dvojnásobný úhel sinu a cosinu. Celkem z toho bude součet jednoduchých integrálů $\int\sin^nx\cos^mx\,{\rm d}x$ , které jednotlivě řešit.

EDIT: trochu snadněji:
$\sin^32x\cos^23x=\sin^32x\cos^2(x+2x)=$
$\sin^32x\left(\cos x\cos2x-\sin x\sin2x\right)^2=$
$\sin^32x\left(\cos x(\cos^2x-\sin^2x)-2\sin^2x\cos x\right)^2=$
$\sin^32x\left(\cos x(1-2\sin^2x)-2\sin^2x\cos x\right)^2=$
$\sin^32x\left(\cos x(1-4\sin^2x)\right)^2=$
$8\sin^3x\cos^3x\cos^2x(1-4\sin^2x)^2=$
$8\sin^3x\cos^5x(1-4\sin^2x)^2$ ,
což je funkce lichá jak k sinu, tak cosinu, takže třeba substituce $\sin x=t$ s $\cos x\,{\rm d}x={\rm d}t$ povede rychle k cíli, když si intergrál představíme jako
$8\int\sin^3x\cdot(1-\sin^2x)^2\cdot(1-4\sin^2x)^2\cdot\cos x\,{\rm d}x$ .