Matematické Fórum

simonaj1 · 07. 08. 2009 22:16

ahoj mam limitu ${\lim}\limits_{x \to \0} {\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}}$
z wolframu jsem po zadání dostala toto...
mohl by mi prosím někdo lidsky sdělit, co přesně to znamená? hlavně jsem nějak vedle z toho nekonečna za závorkou...

Kondr · 07. 08. 2009 22:33 — Editoval Kondr (07. 08. 2009 23:08)

↑ simonaj1:Nekonečno za závorkou znamená "násobení něčím, co jde k nekonečnu". Když je a>0 [EDIT: ve světle následujících příspěvků změněna nerovnost na ostrou], je v té závorce na obou řádcích 0. Násobení nulovou závorkou znamená nulový výsledek, limita je z obou stran rovna 0. Když je a<0, je limita zleva +oo, limita zprava -oo a limita neexistuje. Pokud jde o postup, tak rozšířit zlomek výrazem $a+\sqrt{a^2-x^2}$ je dobrý začátek.

jarrro · 07. 08. 2009 22:51

neviem síce čo znamená ten wolfrámový zápis ale tá limita pre záporné a neexistuje, pre kladné a je rovná nule a prea=0 je $D\left(f\right)=\emptyset$ pre kladné a je to limita $\frac{0}{0}$ a možno použiť lhospitala deriváci menovateľa je jedna teda limita prejde potom na limitu derivácie čitateľa čo je $\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ limita tohto zlomku pre x idúce k nule je nula pre a=0 je vždy pod odmocninou záporné číslo teda má za definičný obor prázdnu množinu a pre záporné a je to limita typu $\frac{2a}{0}$ kde menovateľ pri prechode nulou mení znamienko a čitaťeľ je vždy záporný teda limita pre a<0 neexistuje

Marian · 07. 08. 2009 23:06

↑ jarrro:
Souhlasím, že pro a=0 není možné limitu spočítat v důsledku D(f)=empty_set. Pravidlo de l'Hospitala mi příjde ale jako příliš velká násilnost, byť funguje.

jarrro · 07. 08. 2009 23:15

↑ Marian:prečo násilnosť náhodou tu je to celkom jednoduché derivovanie tak prečo ho nepoužiť ? ale aj to rozšírenie je tiež asi rovnako jednoduché a veľmi sa nelíši lebo rozšírením sa dostane $\frac{x}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$ a derivovaním $\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

Marian · 08. 08. 2009 01:19

↑ jarrro:
To je patrně jen moje deformace. Často jsem čítával nebo slýchával, že řešení matematické úlohy, které využívá derivace, není považováno často za elegantní. Týká se to nejčastěji dokazování nerovností. Asi jsem se nakazil a proto mému oku lahodí více elementárnější úprava. Ale nijak zle jsem to nemyslel.

simonaj1

takže by se to dalo vlastně odvodit i takto, budu li x uvažovat jako něco blížící se téměř nule bude se výsledek blížit nekonečnu čím víc se x bude nule přibližovat...
pak pro a>0
${\lim}\limits_{x \to \0^+}\frac{a}{x}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\infty-\infty=0$

${\lim}\limits_{x \to \0^-}\frac{a}{x}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}=-\infty-(-\infty)=0$

pro a<0
${\lim}\limits_{x \to \0^+}\frac{a}{x}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}=-\infty-\infty=-\infty$

${\lim}\limits_{x \to \0^-}\frac{a}{x}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\infty-(-\infty)=\infty$

zkoušela jsem roznásobit, ale z výsledku již nejsou závěry (alespoň pro mě) tak jednoznačné, protože dostanu (jestli jsem dobře počítala...) $\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ pak cokoliv^2 je kladné číslo a nemá pro mě smysl uvažovat "a" jako záporné