Matematické Fórum

simonaj1 · 08. 08. 2009 09:59

mám tady slovní úlohu a nějak netuším odkud začít:-(

Poločas rozpadu jistého radioaktivního prvku je 1000 let v čase t=0 je hmotnost prvku x=2000g. Je-li časová změna počtu gramů prvku x úměrná počtu gramu prvku v libovolném čase t, vypočtěte hmotnost prvku po 2000 letech.

jestli tomu dobře rozumím tak za těch 1000 let se rozpadne přesně polovina hmotnosti prvku tj. za 1000 let je hmotnost t1000=x/2?

Chrpa · 08. 08. 2009 10:22

↑ simonaj1:
Rozumíš tomu dobře.
Za 1000 let bude hmotnost 1000 g a za 2000 let bude hmotnost 500 g.

simonaj1 · 08. 08. 2009 14:39

↑ Chrpa: musím na to, ale použít výpočet pomocí funkce, jak bude ta funkce vypadat?

jarrro · 08. 08. 2009 15:21 — Editoval jarrro (05. 03. 2022 11:54)

↑ simonaj1:
pre tú funkciu by malo platiť
$f^{\prime}\left(t\right)=kf\left(t\right)$
teda
[mathjax]\begin{align}\ln{f\left(t\right)}=kt
+c\\f\left(t\right)=e^{kt+c}\\f\left(0\right)=2000\\c=\ln{2000}\\f\left(t+1000\right)=\frac{f\left(t\right)}{2}\\e^{kt+1000k+\ln{2000}}=\frac{e^{kt+\ln{2000}}}{2}\\e^{kt+1000k+\ln{2000}}=e^{kt+\ln{2000}-\ln{2}}\\kt+1000k+\ln{2000}=kt+\ln{2000}-\ln{2}\\1000k=-\ln{2}\\k=-\frac{\ln{2}}{1000}\end{align}[/mathjax]
teda
$f\left(t\right)=e^{-\frac{\ln{2}}{1000}\cdot t+\ln{2000}}$
snáď to je OK

simonaj1 · 08. 08. 2009 15:46

↑ jarrro: ježíš... takový to bylo jednoduchý a teď tohle... pro slaboduché, prosím... co je k, co je c a jak se dostanu k t v $e^{-\frac{\ln{2}}{1000}\cdot t+\ln{2000}}$

lukaszh · 08. 08. 2009 15:49

Ak uvažujeme diskrétny rozpad: Označme počet tisícročí $\tau$ . Potom možno jednoducho odvodiť, že
$\boxed{M(\tau)=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\tau}}$
kde $M$ je hmotnosť v čase $\tau$ . Ide o geometrický pokles.

jarrro · 08. 08. 2009 15:54 — Editoval jarrro (08. 08. 2009 16:08)

↑ simonaj1:k je konštanta len som zapísal, podmienku v zadaní,že zmena je úmerná počtu zmena je derivácia úmerná znamená že je jej násobok použil som len fakt,že $\frac{f^{\prime}\left(t\right)}{f\left(t\right)}=k$ a túto rovnosť som zintegroval neurčitý integrál zlomku je $\ln{f\left(t\right)}+c_1$ a konštanty $kt +c_2$ $c_2-c_1$ som označil ako c že f(0)=2000 je podmienka úlohy a že f(t+1000)=f(t)/2 priamo plynie z faktu,že 1000 je polčas rozpadu
po lukášovom príspevku ma napadlo,že $e^{-\frac{\ln{2}}{1000}\cdot t+\ln{2000}}=2000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1000}}$
čo je tvar čo uvádza Lukaszh len on píše $\tau=\frac{t}{1000}$

simonaj1

↑ jarrro: já jsem dnes asi nějaká natvrdlá... pořád nejsem schopná do toho dosadit tak, aby mi vyšel výsledek 500 gramů:-(

jarrro · 08. 08. 2009 16:40

za t dosaď 2000 najlepšie do toho tvaru $2000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1000}}$ vyjde $2000\cdot \frac{1}{4}=500$

simonaj1 · 08. 08. 2009 16:53

↑ jarrro: jj, už jsem to dala, musela jsem si to celé znovu napsat na papáír a pak to tam najednou bylo:-D ale sama bych to neposkládala ani náhodou... díky

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2009 09:59

slovní úloha s poločasem ropadu

#2 08. 08. 2009 10:22

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#3 08. 08. 2009 14:39

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#4 08. 08. 2009 15:21 — Editoval jarrro (05. 03. 2022 11:54)

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#5 08. 08. 2009 15:46

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#6 08. 08. 2009 15:49

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#7 08. 08. 2009 15:54 — Editoval jarrro (08. 08. 2009 16:08)

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#8 08. 08. 2009 16:35 — Editoval simonaj1 (08. 08. 2009 16:35)

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#9 08. 08. 2009 16:40

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

#10 08. 08. 2009 16:53

Re: slovní úloha s poločasem ropadu

Zápatí