Matematické Fórum

nekonečna se od sebe neodečítají a vzájemně se nedělí; pak by šlo o neurčité výrazy; pokud se tento jev objeví v nějakém příkladu, je nutné výraz upravit

Navic chci upozornit na to, ze nekonecno neni realne cislo (at uz +oo nebo -oo). Proto neplati klasicke axiomy. Navic jeste tolik, ze nekonecno minus nekonecno muze byt skutecne cokoliv, ale pozor na vec - ono to nemusi ani existovat (ti, kteri znaji limity pak jiste vedi, ze ta muze nebo nemusi existovat).

Zakoncim to slovy, ze neni nekonecno jako nekonecno (kazde se muze chovat jinak a muze mit odlisny charakter).


Zdravim.


P.S.: Msto l´Hospitalova pravidla se take casto pouziva tzv. Stolzova veta (u posloupnosti). Ale to jen tak bokem.

Ahoj ahoj :)  Trochu mrtva tema uz, ale kedze otazka sa tyka nekonecna, myslim, ze sem sadne. Limitam ala nekonecno-nekonecno chapem, ide mi o iny zaujimavy vyraz, 1/oo (1 deleno nekonecno). Je toto cislo vyjadritelne? Nemyslim na limitu z 1/n pre n iduce do nekonecna, ale konkretne cislo 1/oo ... Preco by napr. 0,9 periodickych malo byt 1? Viem, ze na to existuje dokaz a aj ho poznam (aspon myslim), ale aj tak, je to cislo "sakra" blizko k jednotke ale stale nie je jednotkou. Na tuto temu ma dnes napadol dalsi zaujimavy priklad, stary znamy zo stredoskolackej fyziky: Vozidlo 1 startuje naraz z vozidlom 2, rovnakym smerom, vozidlo 2 ma naskok 20km. Vozidlo 1 ide rychlostou 20km/h a vozidlo 2 rychlostou 10km/h. No a teraz pristupme na otazku pomocou nekonecnych geometrickych radov: ratame ciastkovo tak, aby vozidlo 1 vzdy doslo tam, kde bolo vozidlo 2. Teda vozidlo jedna za 1 hodinu dojde do bodu B, co bolo 20 km od jeho zaciatku a kde startovalo vozidlo 2. Vozidlo 2 dovtedy prejde 10 km. Teda vozidlo 1 dojde dalsich 10 km, dovtedy vozidlo 2 prejde 5 km, 1 prejde dalsich 5, kym 2 dalsich 2,5 atd atd atd. Tymto stylom ratania dospejeme k nelogickemu usudku, ze vozidlo 1 nikdy nemoze predbehnut vozidlo 2, pretoze ono stale prejde nejaku vzdialenost, kym ho dobieha. Aby ho predbehol, potrebovali by sme existenciu isteho najmensieho cisla, ktore by nebolo delitelne dvomi... Divne. Ma niekto vysvetlenie???

staci si uvedomit, ze v te sve uvaze porad zkracujes cas.
kdyz pojedes minutach a budes pocitat vzdalenosti, problem nenastane:)

↑ xificurC:

kdy se přesně doběhnou: to se dá moc pěkně znázornit grafem. osa x bude čas, osa y vzdálenost od startovací čáry. Želva vyběhne jako první, a pomalinku se bude odlepovat od osy x. Achilles trpělivě čeká na ose, zatímco čas plyne. když už je želva dostatečně vzdálená, vyběhne i Achilles, ale vzdaluje se od osy x mnohem rychleji, takže se brzy jejich vzdálenosti vyrovnají. nejradši bych to nakreslil, ale momentálně nemám jak

a s výrazem 1/oo je to složitější:)

Občas se postupuje tak, že vezmeme obor reálných čísel R, rozšíříme ho o plus a minus nekonečno na obor R*.

potom dodefinujeme operace sčítání, odčítání, násobení atd.. i pro nekonečna.

pokud číslo x patří do R, pak

x/oo se definuje rovno nule.

edit: dokonce i x/-oo se definuje rovno nule.

↑ Sidža: Ano, stejně jako mohutnost množiny celých čísel je stejná jako mohutnost lichých čísel, ačkoliv nám rozum říká, že těch celých přece musí být více.

↑ xificurC:

ano. v oboru rozšířených reálných čísel se dá při vhodném nadefinování dokonce i celkem pěkně počítat.

co se nedefinuje, je rozdíl oo - oo, oo/oo, dělení nulou.

ty první dvě operace se nedefinují, protože nekonečna si nemusí být rovna. dělení nulou je klasický problém - člověk by si řekl, že by se dalo v rozšířeném oboru R definovat jako nekonečno, ale s jakým znaménkem?

EDIT: ale co tak tuším, tak se obor R* používá spíš jako pomůcka, než aby to byl precizní matematický objekt.. myslím, že se dá stavět i bez něj:)

↑ xificurC:

já znám bohužel pravděpodobnost jen matně, a to pouze pravděpodobnost na konečných množinách.

ale můj hrubý tip je, že pro nekonečný počet prvků v množině se musí použít limita, a poté by ti vyšlo, že pravděpodobnost se limitně blíží nule, což celkem pěkně vystihuje to, co jsi řekl:)

Mozna delaji vsichni chybu v tom, ze se snazi si to nekonecno predstavovat. Pokud chcete chapat R* jako nejaky druh algebry, to znamena ze chcete aby se nekonecno mohlo ucastnit scitani nasobeni apod., musite proste nejak ty operace s nekonecnem zadefinovat. Je jedno jak. Klidne bych si mohl nadefinovat, ze 1/oo bude treba 3. No ale takhle nadefinovana operace bud povede rovnou k nejakemu logickemu sporu (v matematice ne v realnem svete) a nebo ta algebra bude mt nejake divne vlastnosti, ktere se nam moc nehodi. Ukazuje se, ze nejlepsi zpusob (z matemtickeho hlediska) je zadefinovat 1/oo=0. To, jestli je 1/oo rovno nule taky v nasem realnem svete je otazka, ktera nas vlastne moc nezajima.

Co se tyce te pravdepodobnosti, predstavte si, ze se hraje hra, kde se losuje jedno realne cislo. Jaka je pravdepodobnost, ze ho uhodnete? Presne nula. Plyne to z teorie pravdepodobnosti a zase, je to logicky nejprirozenejsi zpusob, jak takovou pravdepodobnost definovat. Kdyz byste dali pravdepodobnost vetsi nez nula, dojdete ke sporu.

Jeste poznamka. Nekdo ma pocit, ze 1/oo neni nula ale cislo nekonecne blizke nule. Zadne takove cislo ale neexistuje (alespon v klasickem kalkulu ne. Existuje ale kalkulus, kde se takova cisla zavadeji a je na tom vybudovana cela teorie). Opet bych rad pripomel, ze se nikdo nezatezuje otazkou, zda takovy pokriveny kalkulus ma neco spolecneho se svetem, ve kterem zijeme.

↑ Lishaak:
Pri tom losovani je prave ten zaujimavy problem, ktory nechapem :) Pravdepodobnost nemoze byt nula, lebo vzdy sa moze najst blbec, ktory to cislo uhadne :)  A co potom? Mal nulovu sancu, teda ziadnu a predsa to uhadol. Nie je nahodou aj toto spor?? Odpoved typu nemoze to uhadnut neberem, lebo moze :)

Jeste takova zajmavost, co me ted napadla.

Predstavme si, ze se losuje realne cislo. Jaka je pravdepodobnost, ze toto cislo bude racionalni? Ted by si nekdo mohl rict ze minule byla prizniva pouze jedna moznost a ted je jich priznivych dokonce nekonecne mnoho, takze pravdepodobnost se prece musela zvetsit. Neni to pravda. Pravdepodobnost takoveho jevu je porad nula. Ten los se proste nikdy do racionalniho cisla netrefi.

Moc podrobně jsem tu diskusi nečetl, ale ve statistice je jev nemožný, který nemůže nikdy nastat a ten má pravděpodobnost nula. Ale jev který má pravděpodobnost nula, nemusí být jev nemožný, může klidně nastat (jenom má pravděpodobnost nula).