Matematické Fórum

Skrytý text:
Jde o složenou funkci tvaru

(0)                    ,   kde  .

I.  Vyjdeme ze známých vlastností fce

(1)                      .

Je to funkce periodická, jejíž nejmenší kladnou periodou je .
Definičním oborem fce (1) je sjednocení otevřených intervalů tvaru

(2)                      , kde   probíhá množinu všech celých čísel,

přičemž na každém z intervalů (2) je tato funkce rostoucí a spojitá a zobrazuje ho na interval .
Nulovými body fce (1) jsou středy těchto intervalů, tedy body  tvaru

(3)                      ,    kde   probíhá množinu všech celých čísel.


II. Dále:
Vnitřní funkce ve funkci  (0), tedy funkce , je definována v celém intervalu ,  je zde rostoucí a spojitá
a zobrazuje tento interval na .
Je ovšem nutno, aby hodnota vždy ležela v některém z intervalů (2), takže definiční obor fce (0)  bude - viz (2) -  sjednocením
otevřených intervalů tvaru

(4)                    , kde   probíhá množinu všech celých čísel,

a zároveň , , tedy .  ,
Snadným výpočtem zjistíme, že , .
Funkce (0) je na každém z intervalů (4) rostoucí a spojitá a zobrazuje ho na    .
Nulovými body fce (0) budou - viz (3) -  kořeny rovnic  , tedy kořeny rovnic  , což jsou body

(5)          , kde   probíhá množinu všech celých čísel.

Funkce (0) je periodická s nejmenší kladnou periodou ,  neboť
,
že jde o nejmenší kladnou periodu, je z tohoto výpočtu zřejmé.