Matematické Fórum

Skrytý text:
.
Z plyne ,  , odtud
,  .

Je-li při tom  někdy , pak pro totéž n je , odtud   - spor.

EDIT: Odvození nerovnosti :
Nejprve si uvědomíme, že    
(neboť posloupnost {a_n} má  pouze nezáporné členy), čímž jsme ukázali, že  posloupnost {a_n}
je zdola omezena číslem , takže z definice čísla L pak plyne .

Skrytý text:

Nerovnost, kterou má splňovat daná posloupnost {a_n}, dává nutně kladnost čísla . Odtud se ukazuje, že platí nerovnost pro přirozená čísla větší než 2.

Aplikuji-li nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem na kladná čísla a , dostanu nerovnost

Uvážíme-li část této nerovnost zcela vlevo a zcela vpravo, dostaneme snadno fakt, že posloupnost je klesající.

Protože se jedná o klesající posloupnost kladných čísel, existuje jistě limita této posloupnosti, označme ji třeba .

Opětovným použitím nerovnosti v předpokladu úlohy se ukazuje, že je po limitním přechodu (jehož smysluplnost jsme si před chvíli vysvětlili)

To ukazuje na skutečnost, že je .

Tím je úloha vyřešena, tj. je , jakožto důsledek skutečnosti, že posloupnost je klesající s limitou 1/2.