Matematické Fórum

simonaj1 · 14. 08. 2009 22:39

ahoj, měla bych dotaz... mám $\int{\frac{1}{cos^3(x)}dx}$ ... jak udělat z $\frac{1}{cos^3(x)}$ tohle $\frac{cos(x)}{sin^4(x)-2sin^2(x)+1}$
tuhle úpravu mi nabídl MAW jako záměnu funkcí cos za fci sin a odstranění záporných mocnin ze jmenovatele, pak jde hezky substituovat a rozložit na p.zlomky... celé to dopočítám, jen tu substituci tam zas sama nevymyslím

simonaj1

tak nic... už to mám...:-) rozšířit $\frac{cos(x)}{cos(x)}$ a $cos^2x$ ve jmenovateli předělat na $1-sin^2x$ a roznásobit...

Kondr · 14. 08. 2009 23:00

Platí pravidla:
funkce lichá ke cosinu -- substituce t=sin(x)
funkce lichá k sinu -- substituce t=cos(x)
funkce sudá k sinu i cosinu -- substituce t=tg(x)

kdykoliv jindy -- t=tg(x/2).

Zejména s tou poslední substitucí opatrně -- sice se tím zbavíš gon. fcí, ale můžou vyjít dost ošklivé parciální zlomky. Lepší je zkusit, jestli nepůjde šikovně využít např. vzorců pro cos(2x) a sin(2x).

simonaj1 · 14. 08. 2009 23:23

↑ Kondr: nerozumím lichá sudá? nebyl by názorný příklad? děkuji:-)

Kondr · 15. 08. 2009 00:06

↑ simonaj1:Třeba funkce
$f(x)=\frac{cos^2(x)+sin^8(x)}{cos^4(x)+1}$ je sudá k sinu, protože když sin(x) nahradím za -sin(x), předpis se nezmění. Stejně tak je sudá ke cosinu, protože ani záměnou cos(x) za -cos(x) se předpis nezmění.

Funkce $g(x)=\frac{cos^2(x)sin^4(x)}{cos^5(x)+cos(x)}$ je lichá ke cosinu, protože záměnou cos(x) za -cos(x) se její předpis změní jen znaménkem (stane se z něj $-g(x)$ ).
Funkce g je sudá k sinu ze stejného důvodu jako funkce f.

Funkce $h(x)=\frac1{sin^2(x)+cos(x)}$ není ani sudá ani lichá ani k sinu ani ke cosinu.

Rumburak · 17. 08. 2009 09:16

Pouze doplňující poznámka, aby nedošlo k nějaké desinterpretaci:

Vzhledem k proměnné x jsou ovšem všechny 3 Kondrovy funkce sudé, protože
f(-x) = f(x), g(-x) = g(x), h(-x) = h(x).

Matematické Fórum

#1 14. 08. 2009 22:39

goniometrické funkce

#2 14. 08. 2009 22:41 — Editoval simonaj1 (14. 08. 2009 22:42)

Re: goniometrické funkce

#3 14. 08. 2009 23:00

Re: goniometrické funkce

#4 14. 08. 2009 23:23

Re: goniometrické funkce

#5 15. 08. 2009 00:06

Re: goniometrické funkce

#6 17. 08. 2009 09:16

Re: goniometrické funkce

Zápatí