Matematické Fórum

philber · 04. 08. 2009 22:56

Ahoj mám řešit ( upravit na normální tvar a+ib ) takovéto příklad, ale potřeboval bych nějak nakopnout opravdu už nevím ak na to,. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\frac{3}{cos\frac{\pi}{10}%20%2B%20isin\frac{\pi}{10}}$

napadlo mě jmenovatel převést na normální tvar a pak spočítat, ale když tam je pí/10 tak to nevím jaký k tomu náleží úhlel a výsledek by byl nepřesný

Děkuji za pomoc

gladiator01 · 05. 08. 2009 10:06

doufám, že to je dobře

musixx · 05. 08. 2009 11:00

Už podle Moivreovy věty máme
$\frac3{\cos\frac\pi{10}+i\sin\frac\pi{10}}=3\left(\cos\frac\pi{10}+i\sin\frac\pi{10}\right)^{-1}=3\left(\cos\frac{-\pi}{10}+i\sin\frac{-\pi}{10}\right)=3\left(\cos\frac\pi{10}-i\sin\frac\pi{10}\right)$ .

Jde tedy o to, jak vyjádřit $\cos18^\circ$ a $\sin18^\circ$ .

Jak už jsem zde párkrát psal, je $\cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}4$ .

Proto je $\sin18^\circ=\cos(90^\circ-18^\circ)=\cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}4$ .

S kosinem 18 stupňů to bude malinko těžší. S použitím $\cos72^\circ$ , $\cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}2}$ (pro $\alpha$ z vhodného intervalu) a tohoto lze spočítat, že
$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}4$ . Opětovným rozpůlením tohoho úhlu máme $cos18^\circ=\frac12\sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}$ .

Výsledek tedy může být $\frac32\sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}-3i\frac{\sqrt5-1}4$ .