Matematické Fórum

Petra22 · 17. 08. 2009 17:59

ahoj zdravím všecky prázdninové fyzikáře:)měla bych na vás pár žádostí o rady
opět jsem se dala do počítani a mám tu př. asi nejsou nejjednodušší:(

1)systém skládajíci se ze dvou hvězd se pohybuje pod vlivem přitažlivé síly kolem společného těžiště. měřením bylo zjištěno že doba jednoho oběhu činní T=196,3 h a vzdálenost složek dvojhvězdy d=1,5*10^4m..a chtěla bych vypočítat celkovou hmotnost systému

2) družice pohybující se po kruhové dráze poloměru r=2000km v rovníkové rovině Země ze západu na východ se objevuje nad určitým bodem na rovníku každých t=11,6 h....vypočti hmotnost Země

3) jak velkou rychlost ve vodorovném směru je třeba udělit těles u ve výšce h=500km nad zemským povrchem aby se pohybovalo jako umělá družice Země po kruhove draze....poloměr země 6400cca ....tady vím že by to měla být asi 1.kosmická rychlost ale jak z těchto udaju vychazet

Olin · 17. 08. 2009 18:55 — Editoval Olin (17. 08. 2009 19:05)

Nazdar, vše nejlepší k svátku!

2)
Tady bude nejprve nutné určit úhlovou rychlost družice. Pokud jsem správně odhalil ten chyták, který naznačuje "pohyb od západu na východ", tak se bude muset započítat i rotace samotné Země. Vzhledem k tomu, že se družice pohybuje stejným směrem jako Země (musel jsem se podívat na animaci), sečte se úhlová rychlost Země s úhlovou rychlostí družice vzhledem k Zemi.

Úhlová rychlost družice vzhledem k zemi je $\omega_r = \frac{2\pi}{11,6}\, \mathrm{rad}\cdot\mathrm{h}^{-1} \approx 1,5046\cdot 10^{-4}\, \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

Podle údaje na Wikipedii je úhlová rychlost rotace Země
$\omega_{\oplus} \approx 7,2921\cdot 10^{-5}\, \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

Výsledná (skutečná, vzhledem ke hvězdám) úhlová rychlost družice tedy je
$\omega = \omega_r + \omega_{\oplus} \approx 2,23381 \cdot 10^{-4}\, \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

K hmotnosti Země pak přijdeme tak, že aby se družice pohybovala po kruhové dráze, musí se její dostředivé zrychlení rovnat intensitě gravitačního pole (neboli gravitačnímu zrychlení) v dané výšce. Platí tedy vztah
$\frac{G \cdot M_{\oplus}}{r^2} = \omega^2 \cdot r$
kde G značí gravitační konstantu.

Odtud dostáváme
$M_{\oplus} = \frac{r^3 \omega^2}{G}$

Po dosazení číselně vychází (snad jsem nepopletl převody jednotek)
$M_{\oplus} \approx 5,981 \cdot 10^{21} \, \mathrm{kg}$
což je docela hezký výsledek, jenom o tři řády méně, než má správně být. Nemá být spíše $r = 20000 \, \mathrm{km}$ ? Ta družice je nějak pomalá na to, jak je blízko Zemi.

EDIT: Teď mi docvaklo, že to těch 2000 km asi fakt nemůže být, když si vezmeme, že Země má poloměr přes 6000 km… :-)

Olin · 17. 08. 2009 19:14 — Editoval Olin (17. 08. 2009 19:16)

3)
Měl by stačit úplně obyčejný vzoreček pro kruhovou rychlost (pozor, ne 1. kosmickou - ta se vztahuje k pohybu na povrchu Země). Gravitační konstantu a hmotnost Země vyčteme odkudkoliv (tabulky, Wikipedie…), nebo můžeme i použít údaj spočtený v úloze 2). Za r je nutné dosadit součet poloměru Země a výšky nad povrchem, samozřejmě v metrech.

Dokonce hned na té stránce o kruhové rychlosti v tabulce napravo udávají, že ve výšce 500 km je to zhruba 7,613 km/s.

rughar · 18. 08. 2009 10:10

1) Předpokládám, že se obě hvězdy pohybují po kruhové dráze (jedna po vyší druhá po menší). Označím si r1 a r2 jejich vzdálenosti od těžiště. Zároveň pro ně musí platit následující vztahy

$r_1 = d \frac{m_2}{m_1+m_2}$
$r_2 = d \frac{m_1}{m_1+m_2}$

Dále pro sílu přitahující první hvězdu platí

$F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$

Dosadíme za sílu F pro první hvězdu

$m_1 \omega^2 r_1 = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$

A za r1 můžeme dosadit

$m_1 \omega^2 d \frac{m_2}{m_1+m_2} = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$

A po úpravě získáme

$\frac{\omega^2 d^3}{G} = m_1+m_2$

Petra22

předevšim děkuju za přání k svátku a za pomoc, chtěla bych se pouze zeptat na $\omega_{\oplus} \approx 7,2921\cdot 10^{-5}\, \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ když tohle v zadání nemám tak se to dá nějakym zpusobem vypočíst ne:) když si vemu uhlovou rychlost ktera se vypočíta 2Pí /T
ale za to T dáme periodu a ta je 364x24x3600 asi ne co:))) a ten vzorec te rychlosti družice ten se dá pamatovat nebo je odvozen?

Olin · 18. 08. 2009 21:35 — Editoval Olin (18. 08. 2009 21:38)

↑ Petra22:
No, vypočítat se to dá, jen tam nebude těch 364, protože nás zajímá úhlová rychlost otáčení samotné Země kolem své osy, ne Země kolem Slunce. Jen tady nastává další problém - den má sice 24x3600 sekund, ale toto je doba, za kterou se Země otočí tak, že místo nejblíž Slunci je opět nejblíž Slunci. Opět je to hezky znázorněno na Wikipedii, jeden den pro nás běžně znamená otočku z polohy 1 do polohy 3, ovšem pro výpočet úhlové rychlosti rotace Země potřebujeme znát délku tzv. hvězdného dne, což je otočka z polohy 1 do polohy 2. A ten trvá pouze 23 hodin, 56 minut a 4,09 sekundy. Úhlovou rychlost rotace Země, kterou chceme, pak získáme podělením dvou pí touto hodnotou v sekundách.

Pavel Brožek

↑ Petra22:

A pokud bychom se chtěli nějak dostat k té hodnotě 23 h 56 m, kterou uvádí Olin, tak ta se dá také snadno spočítat. Země se při oběhu Slunce za celý rok otočí o jednou víc než kolik napočítáme dnů. Takže hvězdný den bude doba oběhu Země (365,25 dne) podělená počtem otoček Země kolem své osy (365,25+1):

$T\approx\frac{365,25}{365,25+1}\,\textrm{d}\approx23\textrm{h}\,56\textrm{m}\,4,1\textrm{s}$

Matematické Fórum

#1 17. 08. 2009 17:59

Gravitace

#2 17. 08. 2009 18:55 — Editoval Olin (17. 08. 2009 19:05)

Re: Gravitace

#3 17. 08. 2009 19:14 — Editoval Olin (17. 08. 2009 19:16)

Re: Gravitace

#4 18. 08. 2009 10:10

Re: Gravitace

#5 18. 08. 2009 16:15 — Editoval Petra22 (18. 08. 2009 16:16)

Re: Gravitace

#6 18. 08. 2009 21:35 — Editoval Olin (18. 08. 2009 21:38)

Re: Gravitace

#7 18. 08. 2009 21:51 — Editoval BrozekP (18. 08. 2009 21:52)

Re: Gravitace

Zápatí