Matematické Fórum

Pospa14 · 17. 08. 2009 17:41

Zdravím všechny matematiky

Potřeboval bych pomoc u jednoho příkladu na užití derivací. Zadání příkladu je: U funkce f(x)=2x^2-10/x+3 určete definiční obor, intervaly monotónosti a lokální extrémy. Potřeboval bych i postup jak se to počítá.

Děkuji všem

Olin · 17. 08. 2009 17:42 — Editoval Olin (17. 08. 2009 17:43)

Hned první dotaz: jde o

$f(x) = \frac{2x^2 - 10}{x + 3}$

nebo

$f(x) = 2x^2 - \frac{10}{x + 3}$

nebo

$f(x) = 2x^2 - \frac{10}{x} + 3$

či snad

$f(x) = \frac{2x^2 - 10}{x} + 3$

?

Pospa14 · 17. 08. 2009 18:03

↑ Olin: Jde o ten první případ

Olin · 17. 08. 2009 19:03 — Editoval Olin (17. 08. 2009 19:03)

Dobře.

Co se týče definičního oboru - máme tam jednu problematickou záležitost, totiž zlomek. Jaká je podmínka pro jmenovatele, aby byl zlomek definován? (A jak je to tedy v tomto případě?)

Pro monotónnost i extrémy je nutné spočítat první derivaci. Dělá to problém? Jde o jednoduchou aplikaci pravidla pro derivaci podílu, tedy
$$ \frac uv $' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
V našem případě jsou čitatel i jmenovatel dost jednoduché funkce, ani to nebude moc bolestivé.

Pospa14 · 17. 08. 2009 19:35

↑ Olin: K tý derivaci jsem se dostal ale nevím co sní dál? :-(

Olin · 17. 08. 2009 19:49

Funkce je rostoucí tam, kde je první derivace kladná, klesající tam, kde je první derivace záporná. Řešíme tedy nerovnice.

Extrémy mohou být (v tomto případě) jen tam, kde je první derivace nulová. To, jestli se jedná o extrém a případně o jaký druh extrému, musíme pak ještě ověřit pomocí znaménkových změn první derivace v okolí "podezřelých" bodů (lze použít i druhou derivaci, ale to je v tomto případě snad i zbytečně složité).

Jen pro kontrolu: první derivace vyšla

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pospa14 · 17. 08. 2009 20:01

↑ Olin: Přesně tak mně vyšla první derivace. Takže k těm extrémům je to tak že extrémy jsou v bodech -1 a -5 a -3? A funkce je rostoucí? Jo a ještě k tomu Def. oboru podmínka je že x se nesmí rovnat -3 takže to je D(f)=R-(-3)? Děkuji moc že mi pomáháš ja jsem na tohle dutej funkce mně nikdy nešly

Olin · 17. 08. 2009 20:06

Jo, definiční obor je přesně jak uvádíš.

Extrémy jsou v -1 a -5, v -3 není funkce ani její první derivace definována (nula ve jmenovateli), tedy tam extrém být nemůže.

Pospa14 · 17. 08. 2009 20:15

↑ Olin: SUPER a ještě ty intervaly monotónosti. To si čitatel i jmenovatel položím <>0?? Nebo celou tu derivaci?

Olin · 17. 08. 2009 20:18

Celou derivaci. Ovšem můžeš použít toho, že jmenovatel je jako druhá mocnina vždy nezáporný, stačí tedy za podmínky $x \neq -3$ zjišťovat znaménko pouze čitatele.

Pospa14 · 17. 08. 2009 20:35

↑ Olin: Funkce je tedy klesající?

Olin · 18. 08. 2009 21:14 — Editoval Olin (18. 08. 2009 21:16)

Ne v celém definičním oboru. Klesající je tehdy, když

$\frac{2(x+1)(x+5)}{(x+3)^2} < 0$

což je pro

$x \in (-5;\, -3) \cup (-3;\, -1)$

Vzhledem ke spojitosti zadané funkce pak můžeme říct, že je klesající v intervalech $\langle-5;\, -3)$ a $(-3;\, -1\rangle$ . Analogicky pro intervaly, kde je f rostoucí - bude to $(-\infty;\, -5\rangle$ a $\langle -1;\, \infty)$ .

Doporučuji se podívat na graf funkce - např. pomocí tohoto:
http://wims.unice.fr/wims/en_tool~analy … on.en.html