Matematické Fórum

bobik · 02. 08. 2009 18:50

Zdravim, mohol by mi niekto prosim poradit s riesenim prikladu.
Urcte velkosti stran hranola, tak aby mal maximalny objem. Pricom pozname telesovu uhlopriecku $2\sqrt{3}$ . Napada ma ze by sa to mohlo riesit viacnasobnym integralom, len presne neviem ako. mozno sa mylim,

dakujem

Kondr · 02. 08. 2009 19:23

Hrany kvádru označme x,y,z. Snažíme se maximalizovat objem (vyjádřený vzhledem k rozměrům pomocí funkce V(x,y,z)=xyz) za podmínky x^2+y^2+z^2=12 (Pythagorova věta pro tělesovou úhlopříčku).

Maximalizovat funkci třech proměnných za vazebné podmínky lze mnoha způsoby, uvedu tři:
1) vyjádřit z pomocí x a y, dostaneme $V(x,y)=xy\sqrt{12-x^2-y^2}$ , tuto funkci dvou proměnných maximalizujeme
2) použijeme Lagrangeovy multiplikátory
3) použijeme AG nerovnost: aritmetický průměr čísel x^2,y^2,z^2 je dle vazebné podmínky roven 4, jejich geometrický průměr je nejvýše 4, tj. $\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq 4$ , po vhodném umocnění $xyz\leq 8$ . Rovnost přitom nastává pro x=y=z=2.

Osobně bych volil třetí způsob, ale nerad bych ti motal hlavu něčím, co ve škole běžně nepoužíváte.

bobik · 02. 08. 2009 23:15

↑ Kondr: Ja by som skusil prvy sposob, kedze ide o priklad z funkcii viac premennch kde sme vyuzivali hladanie extremov funkcii.
Nema sa ta rovnica upravit na tvar
$V(x,y)=\sqrt{12-x^2-y^2}$ ? Potom by som nasiel lokalne maximum tejto funkcie? a nasledne z toho vyjadrli nezname x, y. ?

Kondr · 10. 08. 2009 03:07

↑ bobik:Spíš $V(x,y)=xy\sqrt{12-x^2-y^2}$ . Nevím, jak to myslíš s "následným vyjádřením", ale najít extrém téhle funkce na množině $[0,2\sqrt3]\times[0,2\sqrt3]$ je správný směr.

bobik · 14. 08. 2009 22:26

↑ Kondr:
myslel som nieco take , vyjadrim parcialnu derivaciu z objemu V urcim hodnoty pre rovnost s nulou a dosadim do druhej parcialnej derivacie pre urcenie maxima. lenze mne tam vyslo ze $x= \sqrt{3},y=\sqrt{3},z=\sqrt{6}$ co v konecnom dosledku zrejme nebude maximum, ale zremje minimu a tudis neviem ako by som sa mohol dostat k maximu.

Kondr · 15. 08. 2009 20:20

↑ bobik:Ty derivace vyjdou
$-{(y^2+2x^2-12)y}\over{\sqrt{12-y^2-x^2}}$
a
$-{(2y^2+x^2-12)y}\over{\sqrt{12-y^2-x^2}}$
když chceme, aby byly obě nulové, a vyloučíme případy x=0 a y=0 máme
$y^2+2x^2-12=0$
$2y^2+x^2-12=0$
odtud snadno $x^2=4$ a $y^2=4$ , což vede na $x=y=2$ , tedy k výsledku shodnému s druhým postupem.

----
A jak se tu stává dobrým zvykem, přikládám pěknou písničku.

Rumburak

↑ bobik:
U tohoto celkem jednoduchého příkladu možná moje následující rada příliš nevynikne, ale přesto ji uvedu.
Aby byl výpočet pohodlnější, můžeme místo s funkcí $V(x,y)=xy\sqrt{12-x^2-y^2}$ nabývající pouze nezáporných hodnot
pracovat s funkcí $W(x,y) = [V(x,y)]^2= x^2 y^2 (12-x^2-y^2)$ , čímž se zbavíme nepříjemné odmocniny.
Nyní ještě můžeme zavést substituce $u=x^2$ , $v=y^2$ a maximalisovat na vhodné množině funkci $F(u,v) =uv (12-u-v)$ .