Matematické Fórum

simonaj1

mám tu slovní úlohu : Elektrický potenciál $\phi$ v bodě (x,y) ležícího na úsečce s koncovými body (0,3) a (2,0) je dán rovnicí $\phi=2x^2+2y^2$ . V jakém bodě úsečky je el.potenciál největší?
jediné co jsem z toho schopna dostat je délka úsečky... nevím, jestli ji k něčemu potřebuji? případně dopočítat potenciál v krajních bodech... tedy pokud se to provádí dosazením x,y ... asi hledám max. fce, ale opět si tu fci neumím sestavit...

EDIT> v zadání mám chybu: rovnice má být $\phi=3x^2+2y^2$

simonaj1 · 19. 08. 2009 14:09

ještě jsem z toho vyrazila fci té přímky, na které leží uúsečka ... $-\frac32{x}+3=y$ ...

Rumburak · 19. 08. 2009 14:18

Snadno zjistíme, že daná úsečka je částí přímky o rovnici $y \,=\, -\frac{3}{2}(x\,-\,2)$ , přičemž bod [x, y] této přímky leží na dané úsečce právě tehdy, je-li $0\,\le\, x \,\le \,2$ .
Bod [x, y] dané úsečky je tedy určen již svojí x-ovou součadnicí a tedy i hodnotu potenciálu v tomto bodě lze považovat za funkci proměnné x, konkrefně
(1) $\Phi(x) \,=\, 2x^2 \,+\, 2$-\frac{3}{2}(x\,-\,2)$^2$ .

Úloha tedy zní: nalézt maximum funkce (1) na intervalu <0, 2>.

simonaj1

↑ Rumburak: takže, jestli tomu dobře rozumím, mám provést derivaci $\phi(x)$ a výsledek položit = 0 a najít kořeny, tedy body s podezřením na extrém?

tedy $3x^2 \,+\, 2$-\frac{3}{2}(x\,-\,2)$^2=\frac{6}{2}x^2+2.\frac94.(x^2-4x+4)=\frac62x^2+\frac92x^2-\frac{36}{2}x+\frac{36}{2}=\frac12(15x^2-36x+36)$ ... po derivaci dostanu $\frac12(30x-36)=0\rightarrow{x=\frac65}$ dosazením do rovnice dostanu hodnotu $y=\frac65$ to dosadím do $\phi$ a dopočítám potenciál... pro $x=\frac65$ vychází hodnota ca 7,2, musím ještě zkontroloval krajní body, takže spočítám potenciál ještě pro $x=0$ a $x=2$ $\phi_{(x_0)}=18$ a $\phi_{(x_2)}=12$ takže nakonec je největší ne v mnou nalezeném bodě $(\frac65,\frac65)$ , ale v krajním bodě $(0,3)$ ?
ještě jsem si mohla výsledek 1.derivace ověřit 2.derivací... je větší než 0 tudíž, nalezený extrém je minimem fce $\phi(x)$ ne hledaným maximem

Rumburak · 21. 08. 2009 12:28

↑ simonaj1: Ano, přesně tak.
Ještě přidám drobnou technickou připomínku ke zjednodušení výpočtu:
Upravíme $\Phi(x) \,=\, 3x^2 \,+\, 2$-\frac{3}{2}(x\,-\,2)$^2 =\frac12(15x^2-36x+36) =\frac32(5x^2-12x+12) = \frac32F(x)$ , kde $F(x) = 5x^2-12x+12$ .
Je zřejmé, že místo funkce $\Phi$ lze vyšetřovat funkci $F$ , která je po numerické stránce o něco jednodušší.

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2009 13:45 — Editoval simonaj1 (19. 08. 2009 18:14)

ovní úloha - s el.potenciálem

#2 19. 08. 2009 14:09

Re: ovní úloha - s el.potenciálem

#3 19. 08. 2009 14:18

Re: ovní úloha - s el.potenciálem

#4 19. 08. 2009 18:30 — Editoval simonaj1 (19. 08. 2009 18:34)

Re: ovní úloha - s el.potenciálem

#5 21. 08. 2009 12:28

Re: ovní úloha - s el.potenciálem

Zápatí