Matematické Fórum

simonaj1 · 19. 08. 2009 21:05

Najděte obsah největšího pravoúhlého trojúhelníku vytvořeného osami x, y a tečnou ke křivce $y=e^{-x}$
tak nejdříve obrázek

c je tečna k $y=e^{-x}$ a ta je dána rovnicí $y-y_0=f(x)'.(x-x_0)$
přičemž tečna je vlastně také fcí pro niž platí a=y a b=x

no a obsah trojúhelníku je $S=\frac{a.b}{2}$

bude to určitě zas hledání maxima, ale bohužel, opět nejsem schopna dát dohromady tu fci, kterou bych derivovala...

Kondr · 19. 08. 2009 21:47

Rovnice tečny má být
$y-y_0=f(x_0)'.(x-x_0)$
Protože $f(x)'=-e^{-x}$ (derivace složené funkce) máme rovnici tečny ve tvaru
$y-y_0=-e^{-x_0}.(x-x_0)$
Dále $y_0=f(x_0)=e^{-x_0}$ , což dosadíme:
$y-e^{-x_0}=-e^{-x_0}.(x-x_0)$
Průsečík tečny s osou x má souřadnice $[b,0]$ , průsečík s osou y $[0,a]$
Dosazením do rovnice tečny máme
$0-e^{-x_0}=-e^{-x_0}.(b-x_0)$
$a-e^{-x_0}=-e^{-x_0}.(0-x_0)$
Z těchto dvou rovnic vyjádříme a,b a dál už to zvládneš.

simonaj1

↑ Kondr:v té rovnici tečny... to byla chyba tisku:-)
a k tomu zbytku... mohla bych poprosit o kontrolu?
$b=1+x_0$ a $a=e^{-x_0}(1+x_0)$ ? tudíž $S=\frac{a.b}{2}=\frac{e^{-x_0}(1+x_0)(1+x_0)}{2}$ žádná konkrétní čísla?
EDIT, opravila jsem "a" do původního zápisu, tak jak mě upozornil jarro

jarrro · 19. 08. 2009 22:03 — Editoval jarrro (19. 08. 2009 22:14)

ja si myslím,že treba hľadať obsah ako funkciu čísla napr. označme ho m v ktorom tá dotyčnica je z podobnosti trojuholníkov AOB a XMB kde X je bod dotyku a M je obraz čísla m na xovej osi vyplýva $\frac{a}{b}=\frac{e^{-m}}{b-m}$ z toho že ide o dotyčnicu vyplýva,že derivácia funkcie $e^{-x}$ v bode m sa rovná $-\frac{a}{b}$ teda máme aj vzťah $-e^{-m}=-\frac{a}{b}\nl\frac{a}{b}=e^{-m}$ porovnaním rovnakých pomerov dostaneme $e^{-m}=\frac{e^{-m}}{b-m}\nlb-m=1\nlb=m+1$ dosadením b do druhého vzťahu a vynásobením rovnice m+1 dostaneme $a=\left(m+1\right)e^{-m}$ obsah je teda $S\left(m\right)=\frac{\left(m+1\right)^2e^{-m}}{2}$
↑ simonaj1:zle si vyjadrila a(malo vyjsť e^(-x_0)*(x_0+1)) potom vyjde to isté čo aj mne len kondrov bod v ktorom je dotyčnica je x_0 a môj m

simonaj1 · 19. 08. 2009 22:13

↑ jarrro: hafo písmenek... obrázek by k tomu nebyl, jsem z toho jaksi zmatená:-( díky předem

jarrro · 19. 08. 2009 22:18 — Editoval jarrro (19. 08. 2009 22:28)

↑ simonaj1:editoval som koniec m je vlastne x_0 nazvi to ako chceš len som nechcel používať x a indexy m sa mi videlo také neutrálne použil som len podobnosť pôvodného trojuholníka a trojuholníka čo vznikne ak z dotykového bodu vedieme kolmicu na os x záporný pomer acka a bcka je smernica dotyčnice čo je derivácia

sorry za kvalitu ale skicár tiehrubé čiary len ukazujú na body aby nevznikli nedorozumenia

simonaj1

↑ jarrro: jsem kopyto... odečetla jsem e^{-x} ještě než jsem násobila... nějak se mi ztratilo násobení jako takové... už bych toho dnes asi měla nechat... takže díky pánové, smekám a dobrou noc:-) zítra je také den...

simonaj1

ještě mě tak napadlo, že to vlastně není konec... ještě musím najít to maximum.... takže musím zderivovat S, najít kořeny rovnice, zjistit, zda se jedná o max a dosadit x do S a dopočítat...
nebo se pletu?

jarrro · 20. 08. 2009 11:22

áno podľa zadania máš nájsť maximálny obsah preto musíš nájsť maximum tej funkcie

simonaj1 · 20. 08. 2009 11:56

↑ jarrro:, to ale vychází nějak hrozně malinko... což mě znejisťuje... a napadá mě... mám to vůbec dobře?
vychází mi $x_0=1$ a $S=\frac2e$ ?

jarrro · 20. 08. 2009 12:07

↑ simonaj1:áno vychádza ti to dobre

musixx · 20. 08. 2009 12:11

↑ simonaj1: Zdravím. To se mi nezdá nijak málo, když uvážíme, že $\int_0^\infty e^{-x}\,{\rm d}x=\left[-e^{-x}\right]_0^\infty=1$ , tedy obsah toho trojúhelníka musí být trochu míň a $\frac2e$ je trochu míň než jedna.

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2009 21:05

slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#2 19. 08. 2009 21:47

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#3 19. 08. 2009 22:01 — Editoval simonaj1 (19. 08. 2009 22:36)

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#4 19. 08. 2009 22:03 — Editoval jarrro (19. 08. 2009 22:14)

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#5 19. 08. 2009 22:13

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#6 19. 08. 2009 22:18 — Editoval jarrro (19. 08. 2009 22:28)

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#7 19. 08. 2009 22:27 — Editoval simonaj1 (19. 08. 2009 22:31)

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#8 20. 08. 2009 10:49 — Editoval simonaj1 (20. 08. 2009 10:50)

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#9 20. 08. 2009 11:22

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#10 20. 08. 2009 11:56

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#11 20. 08. 2009 12:07

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

#12 20. 08. 2009 12:11

Re: slovní úloha, největší obsah trojúhelníku

Zápatí