Matematické Fórum

simonaj1 · 20. 08. 2009 20:42

potřebovala bych trošku pomoct s limitou... wolfram mi to předvádí nějak složitě, že z toho nejsem vůbec moudrá...

$\lim_{x\to 0} (sin(x))^{lncos(x)}$

Olin · 20. 08. 2009 21:15 — Editoval Olin (20. 08. 2009 21:36)

$\lim_{x \to 0^+}(\sin x)^{\ln (\cos x)} = \lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\ln (\sin x) \ln (\cos x)} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to 0^+} \ln (\sin x) \ln (\cos x)}$

Dál se věnuji limitě v exponentu:

$\lim_{x \to 0^+} \ln (\sin x) \ln (\cos x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}{\ln (\cos x)}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln (\sin x))'}{$\frac{1}{\ln (\cos x)}$'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\mathrm{cotg} x}{\frac{\mathrm{tg}x}{\ln^2(\cos x)}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos^2 x \cdot \ln^2(\cos x)}{\sin^2 x} = \underbrace{\lim_{x \to 0^+} \cos^2 x}_1 \cdot $ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\cos x)}{\sin x}$^2$

Dále se věnuji limitě, co je v závorce na druhou:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\cos x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln(\cos x))'}{(\sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\mathrm{tg}x}{\cos x} = 0$

Po dosazení zpět do původní limity tedy zjišťujeme, že ta je rovna jedné, což mi potvrdila Mathematica.

Jen doufám, že jsem někde neudělal nějaké ne košér úpravy, radši, ať se na to mrkne i někdo povolanější. Možná existuje i elegantnější postup než 2x l'Hospital.

EDIT podle jarra: ano, jde pouze o limitu zprava.

jarrro · 20. 08. 2009 21:30 — Editoval jarrro (30. 03. 2017 10:41)

o limite ako takej sa nedá hovoriť len o limite sprava ,lebo zľava je sin(x) záporný a ln(cos(x)) reálne číslo čo nie je vždy definované
$\lim_{x\to 0^+}{$\sin{\(x$}\)^{\ln{\cos{$x$}}}}=\mathrm{e}^{\lim\limits_{x\to 0^+}{\ln{$\cos{\(x$}\)}\cdot \ln{$\sin{\(x$}\right)}}}\nl \lim_{x\to 0^+}{\ln{$\cos{\(x$}\)}\cdot \ln{$\sin{\(x$}\)}}=\lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln{$\sin{\(x$}\)\qquad}}{\frac{1}{\ln{$\cos{\(x$}\)}}}}\nl \lim_{x\to 0^+}{\frac{\frac{1}{\mathrm{tg}{$x$}}}{\frac{\mathrm{tg}{$x$}}{\ln^2{$\cos{\(x$}\)}}}}=\lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln^2{$\cos{\(x$}\)}}{\mathrm{tg}^2{$x$}}}=\lim_{x\to 0^+}{\frac{-2\ln{$\cos{\(x$}\)}\cdot \mathrm{tg}{$x$}}{2\mathrm{tg}{$x$}\cdot \frac{1}{\cos^2{$x$}}}}\nl \lim_{x\to 0^+}{-2\ln{$\cos{\(x$}\)}\cdot \cos^2{$x$}}=0\nl \lim_{x\to 0^+}{$\sin{\(x$}\)^{\ln{cos{$x$}}}}=\mathrm{e}^0=1$

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2009 20:42

limita sin^lncos

#2 20. 08. 2009 21:15 — Editoval Olin (20. 08. 2009 21:36)

Re: limita sin^lncos

#3 20. 08. 2009 21:30 — Editoval jarrro (30. 03. 2017 10:41)

Re: limita sin^lncos

Zápatí