Matematické Fórum

↑ jelena: ano je to tak, vymezit mnozinu takhle zni zadani, ma vyjit body C1=(0,0) C2=(0,1) a prave nevim ten postup, tady se nedelaji parcialni derivace druheho radu?

↑ Crusty:

postup, včetně parciálních derivaci 2. řadu, je uveden v odkazu na mathonline, co jsem napsala:
http://mathonline.fme.vutbr.cz/getFile.aspx?id_file=819

Také je to podobná záležitost, že se vyšetřuje na množině "trojuhelník".

Je potřeba ale nejdřiv, (nebo v průběhu řešení) vymezit množinu, na které se hledá globální extrém. Podle tvého zadání to vymezení množiny vypadá takto.

projdi si odkaz na vzorový příklad. OK?

↑ Crusty:

Už rozumím - pokud je zadání v pořádku, tak máš zadanou funkci z (x,y), která zadává rovinu (ne nějakou "křívou plochu") - proto globální extrém vychází tam, kde je rovina z=x-2y-1 nejvýš (nebo nejníž) nad trojuhelníkem v základně (extrém se bude hledat přes vázební podmínky na hranice oblasti).

Původně jsem se na zadání funkce nepodívala pozorně, měla jsem za to, že se ptáš obecně na postup.

Pokud jde o globální extrémy, postupujeme takto: nejprve hledáme lokální extrémy na celé množině pomocí vázaných extrémů (multiplikátory etc., jak jsi zvyklý), pak hledáme lokální extrémy na hranici té oblasti, pak na hranici té hranice .... Pokud by jsme měli hledat extrém na krychli, budeme nejprve hledat lokální extrém v celém jejím objemu, pak na jejích stěnách, pak na hranách a nakonec ve vrcholech.

V případě trojúhelníka nejdřív uvnitř oblasti, pak na hranách a nakonec ve vrcholech.
Funkce nemá žádný lokální extrém (parciální derivace nejsou nikdy nulové), uvnitř trojúhelníka extrém nenastává.

Pokud jde o hrany, dané nerovnosti nám přímo zadávají rovnice přímek, na nichž hrany leží: x=0, y=0, y-x=1. Mohli bychom na každé z těchto přímek hledat extrém pomocí multiplikátorů, ale je to zbytečně složité. Použil bych zde spíš parametrizaci úsečky. Ta spočívá v tom, že úsečku AB můžme chápat jako množinu bodů [x,y], pro které [x,y]=tA+(1-t)B, kde t jde od 0 do 1. Když si spočítáme koncové bodyu úseček, viz předchozí příspěvky, máme
A=(0, 0),
B=(0, 1),
C=(-1, 0)
Parametrizace úsečky AB vypadá takto: [x,y]=t(0,0)+(1-t)(0,1)=(0,1-t), tedy x=0,y=1-t
Podobně pro úsečku AC x=t-1, y=0, pro BC x=t-1,y=t.

Pro každou úsečku zvlášť z parametrických rovnic dosadíme za x a y do f, vyjde nám funkce jedné proměnné, hledáme její lokální extrémy. Protože je to ve všech případech funkce lineární, tak lokální extrémy nemá.

Zbývá vyčíslit hodnoty funkce ve vrcholech trojúhelníka, nejmenší je minimum, největší maximum.