Matematické Fórum

miminacek · 17. 08. 2009 18:10

ahoj,dlouho to netrvalo a mám tu problem....předem děkuji za každou pomoc cením si vašich rad
částice kmitá s uhlovou frekvencí w= 4 rad/s. V čase To=0s má výchylka částice z rovnovážné polohy velikost u(To)=0,25m,velikost rychlosti je v(To)=1m/s.určete velikost výchylky částice v okamžiku t=2,4

vím že mám vychazet z rovnice U(t)=A*sin(w*t+ fí)
a ted nevím jestli mám dopočítat uhel fí? a jestli bych měl vychazet z rovnosti vychylky a rychlosti(získám derivací) U(To)=v(To)

jelena · 17. 08. 2009 18:46

↑ miminacek:

Zdravím,

Ano - máš dopočitat úhel $\varphi$ . Rychlost ziskaš derivaci funkce pro vychylku - také spravně. Budou dvě rovnice (pro vychylku v čase t_0 a pro rychlost v čase t_0) a dve nezname - maximální vychylka A a uhel $\varphi$ . Řešiš tedy soustavu.

Toto ovšem není OK - "Rovnost vychylky a rychlosti" nemůžeme takto uvažovat - co je "vychylka" (v jakých je jednotkách? - pro uvědomění) a co je rychlost (opět v jakých jednotkách)? Když nakresliš sinusoidu pro U(t) a vyznačiš na ni bod odpovídající t_0=0, kde ja na sinusoide okamžitá vychylka? Jaký význam má okažitá rychlost v tomto čase t_0? Nemusíš odpovídát - otázky jsou jen pro uvědomění, proč nebudeme takto uvažovat.

Pokračování tradičně v pozdějších hodinách, ale snad nebude ani potřeba.

------
Kolegyňce v tématu Gravitace se omlouvám, že nereaguji v časové souslednosti, ale úlohy na hvězdy bych řešila jen za trest, kolegyňce nezávidím (ale je zde hodně schopných kolegů s širokým rozhledem - tak snad nezůstane bez pomoci)

miminacek · 17. 08. 2009 21:30

měli by mi vyjit dva uhly asi když to dam na jednotkovou kružnici je to tak? ale jak na ně přijduta sinusoida vychází z počatku a ale nevim jaká ta sinusoida j vlastně jo je norml do jedničky že jo je to tak? sem do toho koukal takovou dobu tyjo že už nevim co je pravda

jelena · 17. 08. 2009 22:02

↑ miminacek:

Pravda je asi taková: sinusoida nemůsí vycházet z počátku - odkud vychází, to ovlivňuje fáze $\varphi$ , sinusoida nemusí být do jedničky - to ovlivňuje maximální vychylka A.

Zkus se podívat na obrazek v odkazu a povídání okolo

Pro naše zadání: jak vypadá vzorec pro rychlost v(t), který vznikl derivaci funkce U(t)?

miminacek

přesně na tohle jsem koukal:)))) a vzorec by měl být pro po zderivování V=wA cos(wt + fí). mělo by to tak být nevim kde je ta chyba ..prostě vyjadření toho fííí, je to lehký ale já to v otm prostě evidim zkoušel jsem to všeljak

jelena · 17. 08. 2009 23:19

↑ miminacek:

ano, derivace je v pořádku.

$U(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$

$v(t)=\omega A\cos(\omega t+\varphi)$

pro údaj t_0=0, vychylka u(t_0)=0,25 m, velikost rychlosti je v(T_0)=1 m/s máme soustavu:

$0.25=A\sin \varphi$

$1=\omega A\cos \varphi$ , odsud $A=\frac{1}{\omega \cos \varphi}$ a dosazuji:

$0.25=\frac{\sin \varphi}{\omega \cos \varphi}=\frac{\mathrm{tg} \varphi}{\omega}$ dosadime hodnotu omega: $0.25=\frac{\mathrm{tg} \varphi}{4}$

Už se podaří?

miminacek

↑ jelena:už to všecko vidim já si vyjádřil dycky uhel dobře ale zapoměl jsem vyjádřit amplitudu A...už jsem doma:))
dneska jsem opět počítal docela mi to šlo ale tady u těch a ještě nákyhc jsem si nevěděl rady tak jsem přišel za vámi
mám tu jeden lehký příklad a asi bychom na to měli napasovat tento vzorez ale nevim jak přesně o co běží $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
konce nedeformované pružiny o tuhosi k =13 N/m jsou upevněny. tělísko hmotnosti m =25g je uchyceno v ose pružiny v jedné třetině její délky.vypočti periodu malych podelnych kmitu.

trošku těžší
velmi tenká homogenní obdelníková deska hmotnosti m=2kg o rozměrech a =16cm b =40cm se kýve kolem osy splývající s hranou a.vypočti periodu malých kmitů tohoto kyvadla (fyzickeho) moment setrvačnosti tenke desky vzhledem k rovnoběžné ose procházející jejím hmotným středem je J=1/12m*b^2

na vodorovné desce v zemsém tíhovém poli leží závaží o hmotnosti m=1kg. deska kmitá ve svislém směru s periodou T=0,5s s amplitudou u=2cm .jak se bude měnits časem tlaková sílaF kterou závaží půsoí na desku

LukasM · 19. 08. 2009 12:21

↑ miminacek:
Ahoj. Tak ať máš alespoň nějakou odpověď, někdo mně třeba opraví. Já bych na to šel takhle:

1. Pružinu bych si rozdělil na dvě pružiny spojené sériově, přičemž těleso bude mezi nimi. Pro původní pružinu ať platí, že při působení síly F se protáhne o x. Tuhost k je tedy k=F/x. Pokud si teď pružinu myšleně rozdělíme, síla působící na obě pružiny bude stejná (stále F), ale kratší pružina je protažená pouze o x/3, zatímco delší o (2/3)x. Proto je tuhost kratší pružiny k1=F/(x/3) a delší k2=F/(2x/3).
V případě že těleso mezi pružinami vychýlíme z rovnovážné polohy o x, působí na něj tedy síla F=-(k1)x-(k2)x=-(k1+k2)x. Z toho už vidíme že je to totéž, jako by těleso bylo na jediné pružině o tuhosti K=(k1+k2). Úhlová frekvence takového kmitání je $\omega=sqrt{\frac{K}{m}}$ - to se dá odvodit vyřešením té pohybové rovnice (diferenciální), nebo si to pamatovat.

2. Redukovaná délka fyzického kyvadla je $L=\frac{I}{Ml}$ , kde I je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení, M hmotnost a l vzdálenost těžiště od osy otáčení - odvození toho vztahu teda neznám. Potom už stačí vztahy k matematickému kyvadlu (o délce L).
K určení momentu setrvačnosti - vzhledem k zadání předpokládám, že se má použít Steinerova věta (viz. třeba wikipedie). Jde to ale i bez ní, a to přímo z definice momentu setrvačnosti. Pak by to bylo $I=\frac{M}{b}\int_0^bb^2db=\frac{Mb^2}{3}$

3. Rovnou ze zadání můžeme napsat výchylku desky jako funkci času: $y(t)=A_M\sin{(\omega t)}$
Dvojím zderivováním dostaneme zrychlení desky: $a(t)=-\omega^2A_M\sin{(\omega t)}$
Síla působící na těleso směřuje tedy směrem dolů a je rovna $F=m[g+a(t)]$
Tohle bude fungovat v případě, že těleso nahoře nezačne nadskakovat. Dosazením se stačí přesvědčit, že v tomto případě zrychlení oscilátoru nikdy nepřekročí tíhové zrychlení závaží. Ten obecnej případ bude asi o něco složitější.

Jestli jsem napsal nějakou kravinu, tak se předem omlouvám.

miminacek

↑ LukasM: dík za rady
dík moc abych se přiznal jsem z toho tročku v rozpacich:)) ...
1)no mě napadlo tam dát rovnost těch tuhostí nebo poměr? (x2/3)(1/3x) dostanu 2/9 a pak už by to asi nejak vychazelo no ale nevim jestli je to správně nějak ale přemejšlim nad tim ted a konkretně mě nic nenapada $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

2)zajímavý zpusob řešení by mě to nenapadlo takhle jdu to zkusit snad se něčeho dopracuji
3) máš pravdu $F=m[g+a(t)]$ koukal jsem na výsledek a mají tam tohle $F=m[g+\omega^2 ) u_m cos(\omega t +\phi]$ snad se mi podaři z toho vyždímat ten vysledek budu rád když někdo přispěje už se blížim do konce a bude to vše

LukasM · 22. 08. 2009 00:38

↑ miminacek:
1. Jo, nějaký takový čísla mi tam vycházej taky.. Na čem ses zasekl?
2. Jinej způsob mně nenapadá, jestli někdo s něčím přijde, tak se rád poučím. Takhle by to ale snad fungovat mělo.
3. Tohle mi není jasný. Určitě je v argumentu toho cos ta druhá mocnina u $\omega$ ?

jelena · 22. 08. 2009 12:10 — Editoval jelena (22. 08. 2009 13:08)

↑ LukasM:

Zdravím,

v 2. zadání kolegu ↑ miminacek: asi trochu máte, že navrhuješ počítat moment setrvačnosti, ovšem v textu úlohy je zadán J_0 (četla jsem to nepozorně):

...moment setrvačnosti tenke desky vzhledem k rovnoběžné ose procházející jejím hmotným středem je J=1/12m*b^2

Výpočet dle vzorce: $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}}$ , l=b/2, vztah odsud.

Edit: dle upozornění v následujícím příspěvku od LukasM, děkuji :-) opraveno, že v zadání je moment setrvačnosti J_0 vzhledem k těžišti, proto je potřeba provést přepočet - viz odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick … d.C3.A9lka

k 3. zadání - také bych to viděla spíš na překlepy, snad kolega doplni.

LukasM · 22. 08. 2009 12:52

↑ jelena:
Ahoj. Myslím že to tak není. To co je tam zadaný je moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie. Podle té se ale kyvadlo nekýve (ono by se kolem ní ani kývat nemohlo, bylo by v jakékoli poloze stabilní).
My potřebujeme moment vzhledem k ose rotace - a ten se dá zjistit buď přímo z definice (ten integrál - v tomhle případě je to triviální), nebo Steinerovou větou, což měl zřejmě na mysli autor příkladu - proto zadal ten moment vůči ose symetrie.

jelena · 22. 08. 2009 13:00

↑ LukasM:

Děkuji za opravu - ano, v zadání je J_0 (není J), opravím to své povídání v tomto smyslu (za nějakou chvilku)- snad už bude OK.

miminacek · 22. 08. 2009 15:22

↑ jelena: jo byl to pouhý překlep u té 3 takže myslite že už to jinak pujde jdu na to ještě mrknout:)))právě mi tam vadí ten moment setrvačnosti s tím moc neumím pracovat
tam akorat je jen detail že mi nejdou vyjádřit správně ty 2/9 abych to mohl správnou cestou dostat do toho vzorce pod odmocninu

jelena · 22. 08. 2009 23:03

↑ miminacek:

Hezký večer,

doufala jsem, že celé zadání 2. máte s kolegou ↑ LukasM: vyreseno, tak to asi jen zopakuji.

Teorie máš dost, ještě přidám tradiční: http://fyzika.jreichl.com/index.php?pag … kce=browse

Zadání 2. Déska ve tvaru obdelníku a=16 cm, b=40 cm se kyve kolem osy splyvající s hranou a (to si asi dovedes predstavit - celá strana a tvoří osu).

Těžiště obdélníku je ve středu=průník uhlopúříček (nebo polovina hrany b, na kterou se prave divame), ve vzdálenosti od osy kyvu $l=\frac b2=\frac{40}{2}=20\text{ cm}$

Vzorec pro výpočet periody $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}}$ , kde:

J - moment setrvačnosti vzhledem k ose, kolem níž se kyvadlo kýve (kolem hrany a), vypočet dle Steinerovy věty.,
l - vzdálenost osy kyvu od těžiště (b/2)

Steinerova veta nam rika, ze pokud osa symetrie telesa neni stejna jako osa otaceni, tak muzeme prepocitat moment setrvacnosti z tabulkove hodnoty vztažené k ose symetrie k jiné ose. V zadani je uvedena tabulkova hodnota = moment setrvačnosti tenke desky vzhledem k rovnoběžné ose procházející jejím hmotným středem je $J_0=\frac{1}{12}mb^2$ . Prepocet k ose otaceni je dle vzorce $J=J_0+ml^2=\frac{1}{12}mb^2+m\left(\frac{b}{2}\right)^2$ Po uprave $J=\frac{1}{3}mb^2$

Vsechno dosadime do vzorce pro periodu $T= 2\pi\sqrt{\frac{2mb^2}{3mgb}}=2\pi\sqrt{\frac{2b}{3g}}$

Kolega ↑ LukasM: to vsechno, doufam, zkontroluje, jiz ted dekuji :-)

Na zadání 1 ještě se podívám.

--------
tak...

LukasM · 23. 08. 2009 00:07

↑ jelena:
Ahoj. Jo, takhle jak na to koukám se mi to zdá v pořádku :-) Akorát všem doporučuju naučit se počítat momenty setrvačností z definice - pak se dají řešit i příklady kde není tolik zadaného. Moment setrvačnosti hm. bodu (na nehmotném závěsu-mat. kyvadlo) je $I=ma^2$ (a-vzdálenost od osy rotace, m-hmotnost), v případě tuhého tělesa se sčítají momenty jednotlivých částí, takže stačí umět trochu integrovat, viz. výše.

↑ miminacek:
K tý jedničce - prakticky jsem to nahoře snad vyřešil celý, stačí dát dohromady ty vztahy co jsem tam napsal. To se ti určitě nějak podaří. Stačí vyjádřit tuhost jedný a druhý pružiny pomocí tuhosti té původní a sečíst je (proč, to je tam vysvětlený). Pak už je to snadný. Kdyžtak napiš konkrétně v čem přesně je problém (tj. přímo napiš jak to počítáš).

miminacek · 26. 08. 2009 02:09

tak dekuju za pomoc mak jsem se s tim popral zdarne:) a termin zkousky se mi blizi tak bych se tel popro o pomoc se dvema priklady jeste
na kyvadla
1)koule o poloměru r=5cm je zavěšena na niti délky l=10cm .vypočítejte procentuelní chybu které se mužeme dopustit při vypočtu doby kmitu budeme li danou soustavu považovat za matematicke kyvadlo delky l+r=15cm hmotnost nite a odpor vzduchu zanedbat

2)na tyčce kyvadla delky l ale zanedbatelne hmotnosti jsou upevnena 4 stejné kličky ve vzdalenosti l/4,l/2,3l/4l a l od mista zavesu .urči dobu kmitu kyvadla a stovnej jí s dobou jednoduchych kyvadel u nichž zustane jedina kulička na puvodnim mistě
a jeden na tlumeny kmity
3)uvažujeme 2 linearni tlumena kmitani se znamimi periodami T a součiniteli tlumeni T1=10ms T2=0,1ms součinitel tlumeni @1=10^-1 a @2=100^-1..ktere z nich rychleji tlumí? posouzeni provedte pomocí poměru vychylek za stejnou dobu od počatku pohybu např(0,10)s

omlouvam se a pravopis nevidim na to a už je pozde:)))

jelena · 26. 08. 2009 17:48

↑ miminacek:

Zdravím,

Koule o poloměru r=5 cm je zavěšena na niti délky l=10cm. Vypočítejte procentuelní chybu, které se mužeme dopustit při vypočtu doby kmitu, budeme-li danou soustavu považovat za matematicke kyvadlo delky l+r=15 cm (hmotnost nite a odpor vzduchu zanedbat)

Budeme porovnávat periodu kmitu T pro matematické a pro fyzikální kyvadlo.

Matematické: $T_m=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ , kde $L=l+r$

Fyzikální: $T_f=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgL}}$ ,

kde $L=l+r$ , $J=J_0+mL^2=\frac{2}{5}mr^2+m\left(l+r\right)^2$ (moment setrvačnosti koule je z tabulek nebo zpamětí).

Co si mám představit pod procentuelní chybou, trochu váhám (relativní, vyjádřena v procentech? nebo pouze, že jedno T budeme považovat za 100 % a dopočteme, kolík % činí druhé T) - zkusím to početně, pokud se mi bude chtit.

Zatím dopracuj tuto úlohu, než napiší návrh na další zadání.

miminacek · 26. 08. 2009 19:00

2) nevím právě taky jsem nad tím uvažoval ale myslím že tam jde o náký poměr T/Tm=? a my musíme dopočítat to T a za to Tm dosadimeto l+R

jelena · 26. 08. 2009 19:21

↑ miminacek:

Dobře, tak vyrobíme poměr T/Tm (v mém označení to bude Tf/Tm). Zkus to všechno dosadit, co už máme v předchozím příspěvku.

----------------------------------------------
2. zadani

Na tyčce kyvadla delky l (ale zanedbatelne hmotnosti) jsou upevnena 4 stejné kuličky ve vzdalenosti l/4, l/2, 3l/4l a l od mista zavesu. Urči dobu kmitu kyvadla a srovnej jí s dobou jednoduchych kyvadel, u nichž zůstane jedina kulička na puvodnim mistě

Budeme uvažovat fyzikální kyvadlo, ve kterém se nám bude měnit J a vzdálenost těžiště L od osy rotace

Původní tělesa (celkem 4 kulíčky): těžiště se nachází přesně uprostřed mezi 2. a 3 kuličkou (tedy ve výšce (l/4+l/8)l=3/8l od konce (nebo (l/2+l/8)l=5/8l od osy otáčení, což nás bude zajímat více).

$T_{\text{celku}}=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgL}}$ ,

moment setrvačnosti k ose rotace je: $J=\sum m_ir_i^2=m\left((\frac{l}{4})^2+(\frac{l}{2})^2+ (\frac{3l}{4})^2+ {l}^2\right)$ to je potřeba upravit na pěkný zápis

Pro jednotlivé umístění kuliček budeme používat stejný vzorec pro T: $T_{\text{kulicka}}=2\pi\sqrt{\frac{J_1}{mgL_1}}$ , $J_1=mL_1^2$ (L_1 je vzdalenost kulicky od osy otaceni).

Ve výsledku má být poměr $\frac{T_{\text{kulicka}}}{T_{\text{celku}}$

Je to tak srozumitelné?

miminacek · 26. 08. 2009 20:13

↑ jelena:
jo jasnyyy uz to v tom vidim 1) my vyjde dobře:))) a ta dvojka je taky pěkna jen nevim ....vidim že se mi to tam pokrati hmotnost a L akorat proč maj pod tou odmocninou 2/3jeste

jelena · 26. 08. 2009 23:42

↑ miminacek:

V 2. zadání musí být 4 různé výsledky, tak až to celé dodosazuješ, tak se uvidí - pokud sem umístiš svůj výsledek. Nevím, pod kterou odmocninou musí být 2/3, až do úplného konce jsem to neupravovala.

3. zadání je jen na vzorec a opět bude podíl (výchylek).

miminacek · 26. 08. 2009 23:50

ahaa takže za co mám dosadit ty vysledky ruzne kdyz dosadim tento vztah pod odmocninu tak se mi to tam vykrati $J_1=mL_1^2$ asi to špatně chapu

jelena · 26. 08. 2009 23:56

↑ miminacek:

V 2. zadání vztah pro "celek" je jen jeden - když máme 4 kuličky na tyčce. A máme to porovnávat s jednou kuličkou v určité poloze "kulicka":
a) samostatně úplně horní kuličká ve vzdálenosti L_1=1/4 l od osy,
b) samostatně další kulička ve vzdál. L_1=1/2 l
atd.

Já se podívám zítra, co se podařílo.

miminacek

↑ jelena:tak opravdu jsem tomu neveril ale po dlohe dobe jsem to dal dohromady:)))) dík...mužu se zeptat na ten uplne posledni přiklad . zadání je jen na vzorec a opět bude podíl (výchylek). ten podil jak ho mám sestavit uličnika jednoho zkoušel jsem to a takove vzorce... nevim to není asi podobny poměr vychylek netlumenych kmitu?

Matematické Fórum

#1 17. 08. 2009 18:10

kmity

#2 17. 08. 2009 18:46

Re: kmity

#3 17. 08. 2009 21:30

Re: kmity

#4 17. 08. 2009 22:02

Re: kmity

#5 17. 08. 2009 22:40 — Editoval miminacek (17. 08. 2009 22:45)

Re: kmity

#6 17. 08. 2009 23:19

Re: kmity

#7 18. 08. 2009 23:36 — Editoval miminacek (19. 08. 2009 12:37)

Re: kmity

#8 19. 08. 2009 12:21

Re: kmity

#9 20. 08. 2009 00:06 — Editoval miminacek (22. 08. 2009 15:19)

Re: kmity

#10 22. 08. 2009 00:38

Re: kmity

#11 22. 08. 2009 12:10 — Editoval jelena (22. 08. 2009 13:08)

Re: kmity

#12 22. 08. 2009 12:52

Re: kmity

#13 22. 08. 2009 13:00

Re: kmity

#14 22. 08. 2009 15:22

Re: kmity

#15 22. 08. 2009 23:03

Re: kmity

#16 23. 08. 2009 00:07

Re: kmity

#17 26. 08. 2009 02:09

Re: kmity

#18 26. 08. 2009 17:48

Re: kmity

#19 26. 08. 2009 19:00

Re: kmity

#20 26. 08. 2009 19:21

Re: kmity

#21 26. 08. 2009 20:13

Re: kmity

#22 26. 08. 2009 23:42

Re: kmity

#23 26. 08. 2009 23:50

Re: kmity

#24 26. 08. 2009 23:56

Re: kmity

#25 27. 08. 2009 19:23 — Editoval miminacek (27. 08. 2009 20:16)

Re: kmity

Zápatí