Matematické Fórum

Alesmatikar

Prosím o pomoc:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=175&eq=\int_{0}^{3}dy\int_{0}^{1}x(x^2%2By)^\frac{1}{2}dx%20%20$

Předem mockrát děkuji.

Rumburak

Toto není dvojný integrál, ale dvojnásobný. Převedl bych ho na dvojný
(1) $J = \int\int_{M} x\sqrt{x^2 + y} \,\text{d}x\text{d}y$ , kde M = (0, 1) x (0, 3),
který evidentně existuje a je roven integrálu původnímu. Na inegrál (1) bych použil substituci $x=v, \,\, y = u-v^2$
(viz věta o substituci v n-rozměrném integrálu).
Vznikne dvojný integrál velmi příjemného tvaru a na ten pak snadno použijeme Fubiniovu větu.

kaja(z_hajovny)

Ale jde to i primo bez substituce, kde je problem?

umite $\int_0^1 x\sqrt{x^2+y}dx$ ?

Alesmatikar · 19. 08. 2009 15:46

↑ kaja(z_hajovny):

Mohl bych poprosit o řešení přímo bez substice prosím?

kaja(z_hajovny)

umite $\int_0^1 x\sqrt{x^2+y}dx$ ?

anebo aspon $\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}dx$ ?

Anebo ani tohle? (nevim totiz, jak moc podrobne vysvetlovat)

Jestli umite integrovat a jenom si chete zkontrolovat postup, zkuste
MAW

Jestli neumite ani normalni integraly (ty dva ktere zminuji na zacatku mojeho prispevku), tak to sem napiste a budeme vedet, kde zacit.

Alesmatikar · 19. 08. 2009 16:25

↑ kaja(z_hajovny):

Neumím nejspíše ani jeden ze dvou, kterí jste uvedl.

kaja(z_hajovny)

$\int x\sqrt{x^2+y}dx$ substituce $x^2+y=t^2$ a $x dx=t dt$ to prevede na $\int t^2 dt$ . Tohle je O.K.?

Alesmatikar

↑ kaja(z_hajovny):

Je to takto spočítáno v pořádku - viz odkaz na foto s výpočtem níže. Výsledek se shoduje s výsledkem ze skript.

FOTOz

kaja(z_hajovny)

* ty 2/6 na predposlednim radku se musi vztahovat k obema integralum (nekdo tu kdysi psal, ze pouziti zavorek nas nic nestoji, je potom skoda je nevyuzit)

* o te substituci a netransformovani mezi byla nedavno podrobnejsi debata

Mephisto

Já si teda vůbec nejsem jistej, že jsem pochopil zadání, tak jak je to napsáno tak se mi to jeví jako součin dvou integrálů, což je podivné, ... ovšem ať tak či onak, tak u toho vnitřního integrálu bych klidně dal i substituci

$t = x^2 + y$

pak ovšem

$x dx = \frac{dt}{2}$

a

$\int_0^1 x \sqrt{x^2 + y} dx = \frac{1}{2} \int_y^{1+y} \sqrt{t} dt = \frac{1}{3} \big[t^{\frac{3}{2}}\big]_y^{1+y}$

což by dávalo

$\frac{1}{3} \left( (1+y)^{3/2} - y^{3/2} \right)$

Alesmatikar

↑ Mephisto:

Pokud se podíváte sem CELÝ PŘÍKLAD uvidíte, že stejnou substituci jakou popisujete jsem použil.

Akorát jsem nepřevedl meze.

Alesmatikar

↑ kaja(z_hajovny):

Děkuji. Ta závorka tam opravdu chybí.

S těmi mezemi: když mám substituci $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^2%2By%3Dt%20$ tak dolní mez $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=0\rightarrow%20y$ a horní mez $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1\rightarrow%201%2By$ ???

Tímto se to hodně zkomplikuje, je správně, když si myslím, že pokud po zintegrování substitované funkce se vrátím k substituci zpět, nemusím měnit meze?

PS Nejsem student žádné matematické školy ale stavárny.

Alesmatikar · 23. 08. 2009 10:11

Prosím o pomoc, jak jsem již psal, nevím, zda musím přepočítávat meze u substituce pokud se k ní po integraci vrátím a dosadím zpět.

Tento příklad tohoto vlákna řešený dvěma způsoby : a druhý

Poraďte prosím, který způsob je více správný.

Mephisto · 23. 08. 2009 10:34

To první máš zřejmě dobře, vyšlo mi to úplně stejně nezávisle na tobě. Prostě, žádné meze zpět neměníš, v tom druhém kroku máš spočítat

$\frac{1}{3} \int_0^3 (1+y)^{3/2}-y^{3/2}\ dx$

což dává

$\frac{1}{3} \left[ \frac{2}{5} (1+y)^{5/2} - \frac{2}{5} y^{5/2} \right]_0^3$

a po dosazení máš to samé k čemu jsi došel:

$\frac{2}{15}(2^5 - 3^{5/2}-1+0) = \frac{2}{15}(31-\sqrt{243})$

To bych řekl že je správný výsledek.

Alesmatikar · 23. 08. 2009 10:37

↑ Mephisto:

Teď jsem zmatený. Píšeš první ale já mám ten druhý řešený tak jak píšeš. Oba vyšli stejně.

Mephisto

Už jsem se koukl na oba, jak to počítáš. No správné jsou asik oba, jen v tom prvním s těmi mezemi poněkud zmatkuješ.

Rozhodně přímočařejší a elegantnější je ten druhý způsob. V tom prvním způsobu to děláš jaksi zmateně nadvakrát.

Ten můj výpočet z 10:34 je mimochodem 3. způsob, ty to v tom prvním to počítáš ještě jinak... Já jsem to přece na dva integrály nerozděloval...

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2009 13:42 — Editoval Alesmatikar (19. 08. 2009 13:43)

Dvojný integrál

#2 19. 08. 2009 14:48 — Editoval Rumburak (19. 08. 2009 15:02)

Re: Dvojný integrál

#3 19. 08. 2009 15:41 — Editoval kaja(z_hajovny) (19. 08. 2009 15:41)

Re: Dvojný integrál

#4 19. 08. 2009 15:46

Re: Dvojný integrál

#5 19. 08. 2009 16:17 — Editoval kaja(z_hajovny) (19. 08. 2009 16:20)

Re: Dvojný integrál

#6 19. 08. 2009 16:25

Re: Dvojný integrál

#7 19. 08. 2009 16:34 — Editoval kaja(z_hajovny) (19. 08. 2009 16:34)

Re: Dvojný integrál

#8 22. 08. 2009 13:01 — Editoval Alesmatikar (22. 08. 2009 16:25)

Re: Dvojný integrál

#9 22. 08. 2009 20:49 — Editoval kaja(z_hajovny) (22. 08. 2009 20:57)

Re: Dvojný integrál

#10 23. 08. 2009 09:29 — Editoval Mephisto (23. 08. 2009 09:37)

Re: Dvojný integrál

#11 23. 08. 2009 09:36 — Editoval Alesmatikar (23. 08. 2009 09:38)

Re: Dvojný integrál

#12 23. 08. 2009 09:37 — Editoval Alesmatikar (23. 08. 2009 09:53)

Re: Dvojný integrál

#13 23. 08. 2009 10:11

Re: Dvojný integrál

#14 23. 08. 2009 10:34

Re: Dvojný integrál

#15 23. 08. 2009 10:37

Re: Dvojný integrál

#16 23. 08. 2009 10:39 — Editoval Mephisto (23. 08. 2009 10:40)

Re: Dvojný integrál

Zápatí