Matematické Fórum

mahone · 23. 08. 2009 11:54

zdravím, nevím si rady s integrálem x+2/x^3+1. Prosím poraďte, jak jej upravit. Děkuji

Mephisto · 23. 08. 2009 11:59

↑ mahone:

Máš to napsané dost nejednoznačně, resp. to co to znamená, jsi tím asi nemyslel. Napsal jsi

$\int x+\frac{2}{x^3}+1\ dx$

což je ovšem zcela triviální, čili předpokládám že jsi myslel spíš

$\int \frac{x+2}{x^3+1} \ dx$

OK?

mahone · 23. 08. 2009 12:01

ano, myslel jsem to druhé

Mephisto · 23. 08. 2009 12:12

Je to i tak jednoduché, i když trochu počítání s tím budeš mít. Rozlož to na parciální zlomky, a dostaneš

$\int \frac{x+2}{x^3+1} \ dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}\ dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+5}{x^2-x+1}\ dx$

Ten první integrál je triviálně
$ln |x+1|$

a kdyby sis nevěděl rady s tím druhým, tak napiš :)

Mephisto

uff :) No, dobrých 15 minut mi to zabralo :D

OK, máš spočítat
$\int \frac{-x+5}{x^2-x+1}\ dx$

První myšlenka je, rozložit to na součet dvou integrálů, kde ten první můžeš zderivovat pomocí substituce
$z=x^2-x+1$

Promysli si, co pak bude dx, co musíš dostat nahoře, mě se to tu nechce rozepisovat, ale každopádně dostaneš
$\int \frac{-x+5}{x^2-x+1}\ dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-10}{x^2-x+1}\ dx$

přičemž
$\int \frac{2x-10}{x^2-x+1}\ dx = \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} - \frac{9}{x^2-x+1}\ dx$

Ten první integrál je triviálně
$ln |x^2-x+1|$

a ten druhý potřebuješ upravit tak, abys ve jmenovateli dostal z^2+1. To lze udělat substitucí
$z=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

kterou dostaneš
$\int \frac{1}{x^2-x+1}\ dx = \int \frac{1}{(x-1/2)^2+3/4}\ dx = \frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{1}{z^2+1}\ dz$

No a tohle už určitě dopočítáš sám :)