Matematické Fórum

clupmi · 24. 08. 2009 10:25

Zdravím všechny, Ahojky, Čauki.
Žák kterého tak nějak připravuji na reparát z M na nástavbě má v sešitě tento příklad:
Strana a v tojůhelníku se rovná 5 cm a strana C = 8.cm. Vypočítejte obsah.
Vyšlo mu, že S = 15,6 cm2. Má to dobře?
A když mi někdo napíše jednu vysvětlující větu, k čemu jsou ty věty dobré, budu rát. Myslím si, že tento příklad šel vypočítat i podle Pythagorovy věty.
Nebo mě nasměrujte na odkaz s teorií. (číst umím *smich*)

marnes · 24. 08. 2009 10:28

↑ clupmi:
Pythagorovu větu můžeš pužít jen u trojúhelníku pravoúhlého! V zadání o tom zmínka není!!

clupmi · 24. 08. 2009 10:37 — Editoval clupmi (24. 08. 2009 10:48)

↑ marnes:
No on má právě ve školním sešitě v úvodu k těmto větám namalované vysvětlující schéma, ve kterém má u vrcholu C naznačen pravý úhel a napsanou poznámku, že platí v pravoúhlém trojúhelníku. :(

Cheop · 24. 08. 2009 10:38 — Editoval Cheop (24. 08. 2009 10:46)

↑ clupmi:
Těch $S=15,6\,\rm{cm^2}$ by vyšlo opravdu pro pravoúhlý trojúhelník.
Ono kdyby se nepředpokládalo, že se jedná o trojúhelník pravoúhlý, pak by to ze zadání ani vypočítat nešlo.
PS: Pro obecný trojúhelník by pro výpočet obsahu bylo v zadání málo údajů.

Pro obsah pravoúhého trojúhelníku použij $S=\frac{ab}{2}$ pro výpočet strany b použij Pythagorovu větu: $b=\sqrt{c^2-a^2}$
Tedy obsah S bude:
$S=\frac{a\sqrt{c^2-a^2}}{2}=\frac{5\sqrt{8^2-5^2}}{2}\dot=15.61\,\rm{cm^2}$

marnes · 24. 08. 2009 10:42

↑ clupmi:
To, že EV pracují s pravoúhlým trojúhelníkem je také pravda, ale já se bavím o příkladě na obsah S.

Pokud tedy jde o pravoúhlý troj, tak to má dobře

Cheop · 24. 08. 2009 12:03 — Editoval Cheop (24. 08. 2009 14:39)

↑ clupmi:
Vypočítáme to pomocí Euklidových vět (platí pro pravoúhlý trojúhelník), obecně a nakonec dospějeme k tomuto: $S=\frac{a\sqrt{c^2-a^2}}{2}$ což je ten vzoreček z Pythagorovy věty.
Euklidova věta o odvěsnách:
$a^2=c\cdot c_a\nlb^2=c\cdot c_b$ kde $c_a$ je úsek strany c od paty výšky na stranu c k bodu A a $c_b$ je úsek strany c od paty výšky na stranu c k bodu B
Euklidova věta o výšce
$v_c^2=c_a\cdot c_b$
čili:
$a^2=c\cdot c_a\nlc_a=\frac{a^2}{c}$
$c_b=c-c_a\nlc_b=c-\frac{a^2}{c}\nlc_b=\frac{c^2-a^2}{c}$
$v_c=\sqrt{c_a\cdot c_b}=\sqrt{\frac{a^2(c^2-a^2)}{c^2}}=\frac ac\cdot\sqrt{c^2-a^2}$
$S=\frac{c\cdot v_c}{2}=\frac ac\cdot\sqrt{c^2-a^2}\cdot\frac c2=\frac{a\sqrt{c^2-a^2}}{2}$ když tam dosadím za $a=5\,\rm{cm}$ a $c=8\,\rm{cm}$ dostanu:
$S=\frac 52\cdot\sqrt{39}\,\rm{cm^2}$