Matematické Fórum

p.e.g.y.s.e.k · 23. 08. 2009 22:52

Ahoj,mám problém s logaritmickými rovnicemi,proto moc prosím o pomoc.Mohl by mi někdo alespon stručně vysvetlit pár příkladů?předem moc děkuji

Zadání:Řešte rovnici v R:

omlouvám se za velký obrázek.

Kondr · 23. 08. 2009 23:01

Rovnici $log_a(b)=c$ lze odlogaritmováním přepsat na $b=a^c$ .
Tímto se ve všech případech zbavíš logaritmů, vyjdou celkem jednoduché rovnice.
Důležité je provést zkoušku a ověřit, že řešení vyhovuje.

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 12:11

děkuju,ale já právě nevím jak pokračovat dál:-(

Marian · 24. 08. 2009 12:18

↑ p.e.g.y.s.e.k:
Názorná demonstrace řešení Úlohy (a) (bez podmínek nutných pro správný výsledek).

Řešení kvadratické rovnice je však již zřejmá záležitost. Prezentuji zde jen, jakým způsobem se zbavit logaritmu na základě poznámky ↑ Kondr:.

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 12:39

děkuju,A to je výsledek?

Cheop · 24. 08. 2009 12:51

↑ p.e.g.y.s.e.k:
Ne to není výsledek.
Musíš vyřešit tu kvadratickou rovnici a udělat zkoušku pro oba kořeny.
Až pak máš výsledek.

LukasM · 24. 08. 2009 12:59 — Editoval LukasM (24. 08. 2009 13:39)

↑ p.e.g.y.s.e.k:
Výsledek dostaneš vyřešením té kvadratické rovnice, ke které se dostal Marian. Tzn. rozložíš ten čtverec napravo, všechno převedeš na jednu stranu a dostaneš $9x^2-13x=0$ . To je kvadratické rovnice, kterou vyřešíš (šlo by pomocí diskriminantu, ale tady je jednodušší vytknout x): Takže $x(9x-13)=0$ . Z toho plyne, že rovnice má dvě řešení: $x_1=0, x_2=\frac{13}{9}$ .

Ty podmínky pro řešení, o kterých mluví Marian pak dostaneš ze zadání. Určitě jste někde už určovali definiční obory, takže víš, že argument funkce log musí být kladný. Daná x tedy musí splňovat nerovnost $7x-8x^2+9>0$ . Další podmínku dostaneme z faktu, že základ logaritmu musí být kladné číslo nerovné jedničce. Takže řešení musí splnit také $(3-x>0)\wedge (3-x\neq 1)$ . Obě řešení co jsme našli dané podmínky splňují, jsou to tedy opravdu řešení.

Jestli jsem řekl něco nepřesně, někdo mně jistě opraví.
Edit: viz. halogan o dva příspěvky níž. Děkuji.

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 13:04

to už jsem asi zapoměla,prosim o pomoc:-(

halogan · 24. 08. 2009 13:06

↑ LukasM:

Jen si oprav $x \neq 1$ na $3 - x \neq 1$ . Jinak souhlasím.

↑ p.e.g.y.s.e.k:
No ale co konkrétně? Je zde spousta látky. Tohle je co? Příprava na přijímací řízení, příprava na reparát, maturita, ...?

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 13:17

zítra dělám totiž reparát:-(

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 13:27

ja nechapu jak se dostanu k tem $9x^2-13x=0$ ???

halogan · 24. 08. 2009 13:33

Tak od začátku.

Když počítáš logaritmus nějakého výrazu ( $\log A$ ), tak vlastně počítáš na jaké číslo (exponent) je potřeba umocnit základ (v tomto případě dekadický logaritmus, základ je 10), aby jsi získala ten argument - v tomto případě A.

Konkrétněji: $\log 100 = 2$ , protože $10^2 = 100$ .

Stejně tak postupuješ u tvých příkladů. Zvolím jednodušší:

$\log_x 81 = 2$

Tady je tedy podstatné, že $x$ musíš umocnit na druhou, abys dostala 81. Z toho pak dostáváš, že $x$ je 9 (a ne -9, základ musí být kladný).

---

Tvůj příklad:
$\log _{3-x}\; (7x-8x^2+9) = 2 \nl (3 - x)^2 = 7x - 8x^2 + 9 \nl 9 - 6x + x^2 = 7x - 8x^2 + 9 \nl 9x^2 - 13x = 0 \nl x \cdot (9x - 13) = 0$

---

Na to, že ho děláš zítra, máš co dělat.

Cheop · 24. 08. 2009 13:34 — Editoval Cheop (24. 08. 2009 14:45)

↑ p.e.g.y.s.e.k:
Když na ostatní příklady použiješ mustr od ↑ Marian: dojdeš vždy ke kvadratické rovnici, kterou vyřešíš.
Určíš u všech příkladů kdy má logaritmus smysl a porovnáš to z výsledky jednotlivých příkladů.
Všechny příklady mají alespoň jedno řešení.
Ukážu ještě na b)
$\log_{x^2}\left(16-3x^2\right)=1\nl16-3x^2=\left(x^2\right)^1\nl4x^2=16\nlx^2=4\nlx=\pm 2$
Pro oba kořeny bude základ logaritmu vždy větší jak 0 a protože pro $x=\pm 2$ je výraz $16-3x^2\,>\,0$ vyhovují oba kořeny.

c) Řešíš rovnici:
$\frac{2}{8+3x}=\lef(\frac x2\right)^{-2}\nl\frac{2}{8+3x}=\frac{4}{x^2}\nlx^2-6x-16=0$

d) Řešíš rovnici:
$\sqrt{x^2-3}=(4x+2)^{\frac 12}\nl\sqrt{x^2-3}=\sqrt{4x+2}\nlx^2-4x-5=0$

p.e.g.y.s.e.k

Moc děkuju,ty základní příklady už mi jdou,ale nevím co s tímhle? $\log_{9}\;81=y$

halogan · 24. 08. 2009 15:47

↑ p.e.g.y.s.e.k:

No přesně jak jsem psal... $9^y = 81$ a to už jde z hlavy.

Pokud by nešlo, tak využiješ logaritmování:

Když máš na obou stranách kladné výrazy (v tomto případě 9^y a 81) a rovnají se, tak se pak rovnají i logaritmy těchto výrazů:

$9^y = 81 \Rightarrow \log 9^y = \log 81 \nl y \log 9 = \log 9^2 \nl y \log 9 = 2 \log 9 \nl y = 2$

Využil jsem vzorců pro logaritmy, najdi si je.

Chrpa · 24. 08. 2009 15:52 — Editoval Chrpa (24. 08. 2009 16:08)

↑ p.e.g.y.s.e.k:
$\log_{9}\;81=y\nly=\frac{\log\,9^2}{\log\,9}\nly=\frac{2\,\log\,9}{\log\,9}\nly=2$
Platí totiž:
$\log_{a}\,x=\frac{\log\,x}{\log\,a$
$\log(x)^n=n\cdot\log\,x$
A nebo jak navrhuje ↑ halogan:
$9^y = 81\nl9^y=9^2\nly=2$

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 17:23

děkuju,to už tedy taky chápu ale ted jsem narazila na příklady,které nechápu:-(

$\log _{5}\;\frac{1}{125}\;-3\log _{\frac{1}{2}}\;\frac{1}{64}$

p.e.g.y.s.e.k · 24. 08. 2009 18:01

vysvětlí mi to někdo,prosííím:-( ?

Chrpa · 24. 08. 2009 19:43 — Editoval Chrpa (24. 08. 2009 19:57)

↑ p.e.g.y.s.e.k:
$\log _{5}\;\frac{1}{125}\;-3\log _{\frac{1}{2}}\;\frac{1}{64}=\log_5\left(5\right)^{-3}-3\,\log_{\frac 12}\left(\frac 12\right)^6=-3\,\log_5\,5-18\,\log_{\frac 12}\left(\frac 12\right)=-3-18=-21$
Platí totiž:
$\log_a(a)=1$

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2009 22:52

Logaritmické rovnice

#2 23. 08. 2009 23:01

Re: Logaritmické rovnice

#3 24. 08. 2009 12:11

Re: Logaritmické rovnice

#4 24. 08. 2009 12:18

Re: Logaritmické rovnice

#5 24. 08. 2009 12:39

Re: Logaritmické rovnice

#6 24. 08. 2009 12:51

Re: Logaritmické rovnice

#7 24. 08. 2009 12:59 — Editoval LukasM (24. 08. 2009 13:39)

Re: Logaritmické rovnice

#8 24. 08. 2009 13:04

Re: Logaritmické rovnice

#9 24. 08. 2009 13:06

Re: Logaritmické rovnice

#10 24. 08. 2009 13:17

Re: Logaritmické rovnice

#11 24. 08. 2009 13:27

Re: Logaritmické rovnice

#12 24. 08. 2009 13:33

Re: Logaritmické rovnice

#13 24. 08. 2009 13:34 — Editoval Cheop (24. 08. 2009 14:45)

Re: Logaritmické rovnice

#14 24. 08. 2009 15:21 — Editoval p.e.g.y.s.e.k (24. 08. 2009 15:21)

Re: Logaritmické rovnice

#15 24. 08. 2009 15:47

Re: Logaritmické rovnice

#16 24. 08. 2009 15:52 — Editoval Chrpa (24. 08. 2009 16:08)

Re: Logaritmické rovnice

#17 24. 08. 2009 17:23

Re: Logaritmické rovnice

#18 24. 08. 2009 18:01

Re: Logaritmické rovnice

#19 24. 08. 2009 19:43 — Editoval Chrpa (24. 08. 2009 19:57)

Re: Logaritmické rovnice

Zápatí