Matematické Fórum

Alesmatikar · 23. 08. 2009 18:17

Prosím o pomoc s výpočtem:

Nemůžu se dopočítat k výsledku ze skript: $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=ln\frac{2%2B\sqrt{2}}{1%2B\sqrt{3}}$

jelena · 23. 08. 2009 19:31

↑ Alesmatikar:

Zdravím,

začátek se zdá být v pořádku, ale problém je nejspíš v predposlednim radku / v integrovani $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C$

Nevím, zda používate tabulku nebo musíte si tento vzorec odvodit - já na něho teď hledím do Rektoryse. Pak ještě bude úprava $\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$ .

Stačí tak?

Mephisto · 23. 08. 2009 20:25

Pokud by měl někdo zájem o odvození, tak se vychází z toho, že
cosh(x)^2-sinh(x)^2=1

a tedy
cosh(x)^2=1+sinh(x)^2

V našem příkladu teda stačí dát substituci
x=sinh(t), pak dx=cosh(t) dt, pod odmocninou vznikne cosh(t)^2 což se odmocní, a krásně to celé vyjde...

Mephisto · 23. 08. 2009 20:52

jop, mě to vyšlo perfektně v souladu s těmi skripty. Tobě jsem to zkontroloval až po třetí řádek od konce, tam až to souhlasí s mým výpočtem. Zjevně teda ten integrál bude

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2+x^2}} \ dx$

Podle Jelenina vzorečku, který já bych samozřejmě neznal a ztrácel bych čas odvozováním z té hyperbolické identity, dostáváme dále

$\left[ ln |x+\sqrt{1+x^2}| - ln |x+\sqrt{2+x^2}|\right]_0^1 =\nl \left[ ln |\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{2+x^2}}| \right]_0^1$

No a teď už triviálně
$ln \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}} - ln\frac{1}{\sqrt{2}} =\nl ln \frac{\sqrt{2}+2}{1+\sqrt{3}}$

Mephisto

Tak už jsem si ten vzorec odvodil :) Je to jednoduché. Chceme spočítat

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} \ dx$

Jak jsem psal dřív, použijeme substituci
$x=a sinh(t)\nl dx=a cosh(t)\ dt$

Integrál se transformuje na
$\int \frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}} \cdot cosh(t)\ dt = \int \ dt$

protože
$1+sinh(t)^2 = cosh(t)^2$
jak jsem psal výše.

Pak už triviálně
$\int \ dt = t + C$

Zpětně dosadíme, a neurčitý integrál vyšel
$arcsinh(\frac{x}{a})+C$

K Jelenině výsledku se lze snadno dostat, uvědomíme-li si, že
$arcsinh(x) = ln(x+\sqrt(1+x^2))$

Za pomocí této identity lze výslednou primitivní funkci přepsat jako
$ln(\frac{x}{a} + \sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}) = ln \frac{1}{a}(x+\sqrt{a^2+x^2})$

1/a je konstanta, logaritmus ji změní na odečtení jiné konstanty, a ta splyne s integrační konstantou. Tím máme co jsme potřebovali :)

Alesmatikar · 25. 08. 2009 15:09

↑ Mephisto:↑ jelena:

Tento vzoreček tedy můžu rovnou dosadit a dopočítat?

$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C$

Protože to odvození je nejspíše nad mé síly.

A děkuji za vyřešení.

Mephisto · 25. 08. 2009 15:31

jj, určitě ho můžeš použít, je dost běžný. Já si ho jenom nepamatuju, což je jen moje chyba :)

Alesmatikar

↑ Mephisto:↑ jelena:

Takže děkuji za pomoc, vzoreček beru jako vzoreček a rovnou dosazuji:

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2009 18:17

Dvojnásobný integrál

#2 23. 08. 2009 19:31

Re: Dvojnásobný integrál

#3 23. 08. 2009 20:25

Re: Dvojnásobný integrál

#4 23. 08. 2009 20:52

Re: Dvojnásobný integrál

#5 23. 08. 2009 21:19 — Editoval Mephisto (23. 08. 2009 21:20)

Re: Dvojnásobný integrál

#6 25. 08. 2009 15:09

Re: Dvojnásobný integrál

#7 25. 08. 2009 15:31

Re: Dvojnásobný integrál

#8 25. 08. 2009 16:12 — Editoval Alesmatikar (25. 08. 2009 16:54)

Re: Dvojnásobný integrál

Zápatí