Matematické Fórum

Ginco · 25. 08. 2009 22:57

je to správně?

$\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{f(x,y)dydx}$

Pavel Brožek · 25. 08. 2009 23:05

Tohle nebude dobře, to bys integroval přes kruh o poloměru 1 se středem v počátku.

Ginco · 25. 08. 2009 23:16 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 23:18)

↑ BrozekP:

právě že nevím jak určit ty x-ové meze

$x^2+y^2<=2y$
pak teda $x<=+-\sqrt{2y-y^2}$ ??

Pavel Brožek · 25. 08. 2009 23:24

Teď nevím, který případ chceš vyřešit. $\int\int\ldots\textrm{d}x\,\textrm{d}y$ nebo $\int\int\ldots\textrm{d}y\,\textrm{d}x$ ?

Ginco · 25. 08. 2009 23:35

$\int\int\ldots\textrm{d}y\,\textrm{d}x$

ovšem nakonec potřebuji umět oba

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Tak meze pro x nesmí záviset na y, bude to interval (-1,1). Když si zafixujeme nějaké x, tak v závislosti na něm musíme určit meze pro y. Z obrázku je tedy vidět, že se to rozpadne na dva případy (na krajích bude y omezeno shora i zdola horní kružnicí, uprostřed bude zdola omezena spodní kružnicí).

kaja(z_hajovny)

↑ BrozekP:
Myslím, že ten interval bude kratší, než $(-1,1)$ , já myslím že $|x|<\frac{\sqrt 3}2$

EDIT: tohle je blbost, ale nechávám to tu, abych nenarušil kontinuitu s dalším příspěvkem

Ginco · 25. 08. 2009 23:59

tak já nevim...netuším jak na ty dvojnásobné integrály, ale děkuju za pomoc....zkouška hold dopadne tak jak asi má...

Pavel Brožek · 26. 08. 2009 09:59

↑ kaja(z_hajovny):

Já myslím, že kdybychom vzali pouze $|x|<\frac{\sqrt 3}2$ , tak vynecháme dvě kruhové úseče dané přímkami $|x|=\frac{\sqrt 3}2$ a kružnicí $x^2+y^2=2y$ . Integrál by podle mě měl vypadat takto:

$\int_{-1}^{1}\quad\int_{g(x)}^{1+\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,\textrm{d}y\textrm{d}x$ ,

kde

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Dejme tomu, že chceš nejdřív integrovat přes x a pak y, tedy $\int\int\ldots\textrm{d}x\,\textrm{d}y$ . Nejdříve určíme meze pro vnější integraci přes y. Když sestavuješ meze pro vnější integraci, tak se vždycky podívej na tu množinu, přes kterou integruješ a urči jakých všech možných hodnot může y nabývat v M. Obvykle zjistíš, že to je nějaký interval, někdy to může být i rozdělené na víc intervalů. Přes tenhle interval (případně intervaly) bude probíhat vnější integrace přes y. Zbývá určit meze pro x. Když si zafixujeme nějaké konkrétní y, tak to nám z množiny přes kterou integrujeme určí nějakou úsečku/více úseček, jejichž body budou mít y souřadnici to zafixované číslo a x bude probíhat nějaké hodnoty. Množina všech takových x bude množina, přes kterou budeme integrovat podle x. Tahle množina ale většinou závisí na tom, jaké je zrovna y, takže meze budou funkcí y.

Tohle bylo takové (snad srozumitelné) povídání, kdybych to měl zapsat matematicky, tak máme množinu $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\,1\leq x^2+y^2\leq2y\}$ .

$A=\{y\in\mathbb{R};\,\exists x\in\mathbb{R}:\, (x,y)\in M\}\nl B_y=\{x\in\mathbb{R};\,(x,\,y)\in M\}$

nebo obráceně

$C=\{x\in\mathbb{R};\,\exists y\in\mathbb{R}:\, (x,y)\in M\}\nl D_x=\{y\in\mathbb{R};\,(x,\,y)\in M\}$

$\iint_M\,f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y=\int_A\quad\int_{B_y}\,f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y=\int_C\quad\int_{D_x}\,f(x,y)\,\textrm{d}y\textrm{d}x$

kaja(z_hajovny) · 26. 08. 2009 10:21

↑ BrozekP:
Jojo, to je pravda, díky za opravu. To je tak, když je člověk líný si to nakreslit. Hlavně že jsem to kreslení několikrát radil původnímu tazateli. :)

Rumburak

↑↑ Ginco:
Takže k té původní funkci
$f(x,y)\,:= x\,\sin\frac{1}{y}\,+\,y\,\sin\frac{1}{x}\,\,, \,\, \,\,\, \text{pokud} \,\, xy \ne 0$ ,
$f(x,y)\,:= 0\,\,, \,\, \,\,\,\,\, \text{pokud} \,\,xy = 0$ .

Jejím definičním oborem je celá rovina.
V bodech [x, y], kde xy <> 0, je funkce zřejmě spojitá, neboť množina všech těchto bodů je otevřená a funkce f je na ní "poskládána"
pouze z funkcí tam spojitých.
V bodě [0, 0] je rovnež spojitá, jak plyne z Tvého odhadu $|x.sin{\frac{1}{y}{+y.sin{\frac{1}{x}}|\le{|x|+|y|}$ .

Zkoumejme nyní spojitost v bodě [c, 0], kde c <> 0 . (Pro větší názornost si představ třeba c = 1.)
Z definice fce f je f(c,0) = 0. A jak je to s limitou v tomto bodě ? Pro y <> 0 je $f(c,y) = c\,\sin\frac{1}{y}\,+\,y\,\sin\frac{1}{c}$ .
Zřejmě ${\lim}\limits_{y \to \0} \,y\,\sin\frac{1}{c} = 0$ , avšak odpovídající limita z funkce $g(y) \,:=c\,\sin\frac{1}{y}$ neexistuje, neboť na libovolném redukovaném okolí nuly tato funkce
nabývá všech hodnot z uzavřeného intervalu [-|c|, |c|].
Takže limita (dvojná) fce f v bodě [c, 0] neexistuje a tudíž funkce v něm není spojitá.
Obdobná situace je v bodech [0, c] , kde c <> 0.

Tvým dalším dotazům o dvojných a dvojnésobných limitách úplně nerozumím, zkus je zformulovat přesněji, pak se pokusím odpovědět.