Matematické Fórum

Ado · 28. 08. 2009 10:03

Ahojte,
prosím o pomoc pri riešení tejto nerovnice:
(x^2 + 2)*(x+7) je väčšie alebo rovné nule.
Môj postup začal tým, že som si zobrala prvú časť súčinu t.j. (x^2 + 2) a položila ho rovný nule ... z toho mi vyšlo, že x^2 = -2 ... z toho teda vyplýva, keďže odmocnina zo záporného čísla sa nedá vypočítať, že by to malo znamenať, že nerovnica nemá riešenie. Je to tak?
Ďakujem za pomoc.

Marian · 28. 08. 2009 10:19 — Editoval Marian (28. 08. 2009 10:21)

Není to tak!

Je-li nerovnice v součinovém tvaru, stačí zkoumat, jestli je uvažovaný faktor kladný nebo záporný. Vezmu-li prvý faktor, tj. $x^2+2$ , je snadno vidět, že pro libovolné číslo $x\in\mathbb{R}$ je tento výraz kladný (dokonce roven dvojce nebo větší než 2). Z nenulovosti a kladnosti tohoto faktoru je tedy zřejmé, že lze takovým číslem podělit celou nerovnici aniž by se změnil její smysl na opačný (neboť dělíme kladným číslem nezávisle na volbě reálného čísla "x"). Tedy stačí vyřešit již jen nerovnici $x+7\ge 0$ , což je velmi snadné.

Jestliže nerovnice řešíš tak, že pokládáš faktory v součinovém tvaru rovny nule, pak pokud nenalezneš žádné reálné řešení (viz tvůj postup), příliš to nemusí znamenat v obecném případě. Někdy pomůže selský rozum.

Marian · 28. 08. 2009 10:25 — Editoval Marian (28. 08. 2009 10:28)

↑ Rumburak:
Nevím přesně, kčemu tvá reakce směřuje. Nesouhlasím se závěrem, který byl popsán, tj.

Ado napsal(a):
Ahojte,
Môj postup začal tým, že som si zobrala prvú časť súčinu t.j. (x^2 + 2) a položila ho rovný nule ... z toho mi vyšlo, že x^2 = -2 ... z toho teda vyplýva, keďže odmocnina zo záporného čísla sa nedá vypočítať, že by to malo znamenať, že nerovnica nemá riešenie. Je to tak?
Ďakujem za pomoc.

Navíc dokonce vyvozovat v obecném případě závěr, že pokud rovnice $f(x)=0$ nemá reálná řešení, pak je nutně $f(x)$ jen kladné nebo jen záporné, je chybné. Ovšem tady to platilo, tj. položili jsme $f(x):=x^2+2$ (proto jsem napsal raději "pomocí selského rozumu" - nechtěl jsem příliš vtahovat do tohoto příspěvku nespojitý případ faktoru $f(x)$ .

Rumburak · 28. 08. 2009 10:28

↑ Marian:
Svoji nepozornost při čtení dotazu jsem si dodatečně uvědomil a svojí proto chybnou odpověď jsem už smazal. Díky za upozornění.

Ado · 28. 08. 2009 10:56

Marián,
takže ak tomu správne rozumiem, znamená to, že keď ten konkrétny výraz t.j. x^2 + 2 bude vždy kladný a aj celá tá nerovnica je vlastne o tom, aby bola väčšia alebo rovná nule, teda kladná, nezaujíma ma, že pri položení tej prvej časti rovnej nule mi vyšlo, že nemá riešenie? Ako to mám zapísať? A čo v prípade, že by tá nerovnica bola opačne, t.j. menšia alebo rovná nule?

Ado · 28. 08. 2009 11:06

a ešte jedna otázka: keby sa v tomto prípade jednalo len o jednoduchú nerovnicu t.j. x^2 + 2 je väčšie alebo rovné nule ... ako by to vyzeralo v tomto prípade?
Ďakujem.

Marian · 28. 08. 2009 14:26 — Editoval Marian (28. 08. 2009 14:41)

Budu přesnější. Řekněme, že chceš najít řešení nerovnice, která má tvar

$f(x)\ge 0$

Upravíš ji nejprve na součinový tvar, který může vypadat obecně takhle.
$f_1(x)\cdot f_2(x)\cdots f_k(x)\ge 0.$

Zjistíš-li [slovenský překlad této věty by začínal slůvkem "Ak ..."] o některých faktorech, že mezi nimi jsou takové, pro něž platí $f_i(x)\ge 0$ nezávisle na volbě čísla "x" (tedy pro všechna $x\in\mathbb{R}$ ), můžeš je bez obav vypustit z řešení. Vysvětlíme si nyní proč.

Platí-li tedy o faktoru $f_i(x)$ pro všechna reálná čísla "x" nerovnost $f_i(x)\ge 0$ , znamená to především, že je splněno buď
(1) $f_i(x)=0$ nebo
(2) $f_i(x)>0$ ,
kde $x\in\mathbb{R}$ . Kdyby platila možnost (1), pak by původní nerovnice měla pro toto číslo "x" tvar
$f_1(x)\cdot f_2(x)\cdots\boxed{f_i(x)}\cdots f_k(x)\ge 0,$
což jistě je pravda, neboť označený člen je roven nule a je také pravda, že $0\ge 0$ .

Zkoumejme nyní případ (2). Je-li pro jistá "x" $f_i(x)>0$ , je možné podle základních pravidel o počítání s nerovnostmi vydělit pravou a levou stranu nerovnice (beze změny jejího smyslu na opačný) tímto členem. Na levé straně uvažované nerovnice tedy budeme mít všechny faktory, až na i-tý faktor $f_i(x)$ , kterým jsme mohli dělit. Na pravé straně je situace snažší, totiž je tam v našem případě nula. Podělíme-li nulu nenulovým číslem $f_i(x)$ , máme stále nulu. Smysl nerovnosti se navíc nezměnil.

A co je cílem této úvahy? Na začátku jsme měli celkem k faktorů na levé straně. Po aplikaci postupu, který jsem popsal, je patrné, že nerovnost se nezmění, vypustíme-li v nerovnici
$f_1(x)\cdot f_2(x)\cdots f_k(x)\ge 0$
faktor $f_i(x)$ , který je kladný pro všechna reálná čísla "x". Provedli jsme tedy redukci na levé straně, kde již máme vlivem popsaných úprav o jeden faktor méně, tj. celkem k-1 faktorů.

Plyne z toho dále to, že můžeme tedy vypustit všechny ostatní "kladné" nebo "nezáporné" faktory. Řešení nerovnice se tímto postupem nezmění (důvodem jsou úpravy, které jsme provedli - říká se jim ekvivalentní úpravy).

Podotýkám, že stejně se řeší nerovnice s obráceným znakem nerovnosti, tj. nerovnice
$f_1(x)\cdot f_2(x)\cdots f_k(x)\le 0.$

Čili na toto není třeba dávat pozor.

Dále padl dotaz o tom, co by se stalo, kdyby některý faktor byl pro všechna "x" záporný (nebo lépe nekladný) - příkladem jsou třeba faktory $-x^2-1$ (záporný) nebo $-x^2$ (nekladný). Pamatuj si, že při dělení nerovnice "záporným" faktorem se mění smysl nerovnosti na opačný. Bude-li v rozkladu na levé straně jediný "záporný" faktor, změní se znak nerovnosti na opačný. Najdou-li se právě dva "záporné" faktory, násobíme dvakrát záporným číslem (podle pravidla $-\,\cdot\, -\, =\, +$ ), tj. smysl nerovnosti bude stejný jako na začátku. Takto to bude postupovat střídavě dále. Obecně to popisovat nebudu.

Nyní uvedu příklad. Předpokládejme, že máme řešit nerovnost ve tvaru $(-x^3-x)(x^3+2x^2)(x-1)\le 0$ .
(a) nejprve rozložíme (je-li to možné) tak, abychom nedostali v rozkladu "komplexní čísla". Bude
$x\cdot (-x^2-1)\cdot x^2\cdot (x+2)\cdot (x-1)\le 0.$
Dále rozkládat podle výše uvedené poznámky nelze. Vypíšu pro jistotu jednotlivé faktory (zleva doprava):
$f_1(x)=x,\qquad f_2(x)=-x^2-1,\qquad f_3(x)=x^2,\qquad f_4(x)=x+2,\qquad f_5(x)=x-1.$

(b) Snažíme se najít všechny faktory, které jsou buď jen záporné nebo jen kladné. Hledáme tedy mezi polynomu v rozkladu ty, které obsahují člen $x^2$ . Jedná se o faktory $f_2(x)=-x^2-1$ ("záporný") a $f_3(x)=x^2$ ("nezáporný").

(c) Tyto faktory odstraníme a především zjistíme počet "záporných" nebo "nekladných" faktorů. Je pouze jeden, tedy znak nerovnosti se změní na opačný pouze jednou (tj. $\le$ na $\ge$ ). Proto stačí řešit redukovanou nerovnici tvaru
$x\cdot (x+2)\cdot (x-1)\ge 0.$
Ta se již dá řešit velmi rychle známými metodami.

____________________
Technická poznámka.
(*) Nesnažil jsem se být přesným, i když jsem to podal asi dosti rozvláčně. Všude, kde jsou uvozovky mě musí brát zkušenější kolegové s rezervou (patrně nejsou úplně všude, kde měly být).
(**) Řešení v konkrétních případech je rychlejší, než tento výklad.
(***) Trochu jsem zalhal také, protože jsem se nezabýval v obecném případě situací, kdy máme na levé straně nerovnice jediný faktor (na pravé straně předpokládám nulu). To by mělo ale být zcela jasné.

Ado · 28. 08. 2009 21:09

Ahoj,

trochu mi to trvalo, kým som sa "prelúskala" tým, čo si napísal.
Aby som sa uistila, že som to pochopila správne, tak sa to budem teraz snažiť "polopate" zreprodukovať. Takže:
- keď mám nerovnicu, kde je súčin niečoho väčší (alebo rovný nule), tak hľadám všetky faktory, ktoré vyhovujú danej nerovnici - v tomto prípade všetky kladné resp. nezáporné
- keď je to naopak a súčin má byť menší (alebo rovný nule), tak potom hľadám všetky záporné.

To s tými ekvivalentnými úpravami ... pripadá mi to tak, že si proste povyhadzujem všetko, čo sa mi tam nepáči? :-) (Samozrejme iba v prípade, že sa to dá.)

A ešte niečo: Myslím, že si tam nespomínal ten prípad, kedy by sa jednalo len o jednoduchú nerovnicu (x^2 + 2 je väčšie alebo rovné nule) ... ako by to vyzeralo v tomto prípade? Nemá riešenie?

Ďakujem za pomoc a trpezlivosť.

halogan · 28. 08. 2009 21:24

↑ Ado:

Obávám se, že to není správně.

Hned odpovím na poslední otázku: $x^2 + 2 \geq 0$ samozřejmě řešení má. Zkus si dosadit libovolné reálné číslo.

Co se týče teorie:

Pokud máme součin několika prvků (v kolegově příspěvku faktory) - a na druhé straně nulu, zajímají nás nejprve ty, které v celém jejich definičním oboru nemění znaménko, takže známe jejich chování. Můžeme pak rovnici tímto faktorem vydělit, protože známe jeho znaménko. Pokud je vždy kladný, tak se nic neděje a pouze ho eliminujeme. Pokud je záporný, tak jej eliminujeme a zároveň otočíme znaménko nerovnosti.

Celá tato úprava plyne z toho poučení, že nemůžeme rovnici násobit/dělit výrazem, o kterém nevíme, jak se "chová".

Když takto eliminujeme všechny bezproblémové faktory, můžeme se pustit do klasického řešení přes nulové body a tabulku. To nejspíš myslel kolega tím

Ta se již dá řešit velmi rychle známými metodami.

(jde to i rychleji, ale nepřehlednější bude jistě tabulka)

Ado · 29. 08. 2009 07:50

To, že nerovnica (x^2 + 2 je väčšie alebo rovné nule) má riešenie, mi je už teraz jasné. Ale ako to zapíšem? Keď začnem hľadať nulový bod, tak sa dostanem k zápisu, že x^2 = -2, takýto postup v tomto prípade asi nie je správny ... a v prípade, že by som celú nerovnicu vydelila výrazom x^2 + 2 ... to je asi tiež nesprávne, že?

jarrro · 29. 08. 2009 08:55

↑ Ado:nulový bod v reálnych číslach neexistuje preto z vlastností kvadratických funkcíí vyplýva že výraz x^2+2 má všade rovnaké znamienko veľmi ľahko sa zistí,že je vždy kladný

Ado · 29. 08. 2009 09:43

Všetkým ďakujem za pomoc.

Matematické Fórum

#1 28. 08. 2009 10:03

Nerovnica v súčinovom tvare

#2 28. 08. 2009 10:19 — Editoval Marian (28. 08. 2009 10:21)

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#3 28. 08. 2009 10:25 — Editoval Marian (28. 08. 2009 10:28)

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

Ado napsal(a):

#4 28. 08. 2009 10:28

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#5 28. 08. 2009 10:56

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#6 28. 08. 2009 11:06

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#7 28. 08. 2009 14:26 — Editoval Marian (28. 08. 2009 14:41)

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#8 28. 08. 2009 21:09

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#9 28. 08. 2009 21:24

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#10 29. 08. 2009 07:50

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#11 29. 08. 2009 08:55

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

#12 29. 08. 2009 09:43

Re: Nerovnica v súčinovom tvare

Zápatí