Matematické Fórum

Mephisto · 24. 08. 2009 10:47

Mám v tom nejasnost :)

Ordinální čísla definujme jakkoliv, třeba jako typy dobře uspořádaných množin. Kardinální čísla budiž začátky těch ordinálních, eg. kardinální číslo budiž vždy nejmenší ordinál jisté mohutnosti.

Problém mám s tím, že pokud nemáme axiom výběru, nemáme zaručeno, že každou množinu lze dobře uspořádat. Pak ovšem pro množiny které nejdou dobře uspořádat, nemáme definovaná kardinální čísla, charakterizující jejich mohutnost... je to tak?

A pokud to tak je, tak dá se vůbec u těchto množin mluvit o jejich mohutnosti? Je možné, že bez AC existují dvě množiny A, B, pro které nelze rozhodnout, zda existuje injektivní fi: A->B nebo naopak? Nebo o tom vůbec nemá smysl mluvit?

Mephisto · 24. 08. 2009 10:53

Já jsem si totiž vždycky myslel, že kardinální číslo je pro každou množinu dobře definováno bez ohledu na to, zda máme AC nebo ne... a že mluvit o mohutnostech množin lze vždy, nejen s AC...

twomi · 01. 09. 2009 18:03

neni :). Kardinalni cislo je definovano pro vsechny mnoziny ktere jsou isomorfni nejakym ordinalum. A k tomu aby jsi umel najit isomorfismus na ordinal, musis umet prvky mnoziny seradit do transf. sekvence, tedy dobre usporadat. Predstav si mnoziny ve kterych je strasny bordel, ze at zkousis jakykoli usporadani, nikdy neudelas dobry (predstav si realna cisla). A porovnavani pres proste funkce ti taky moc nepomuze: mas dve osklive mnoziny, tak zkousis definovat proste funkce z jedne do druhe postupnym pribiranim prvku -- a bez AC nemas zaruceno, ze funkce kterou stavis je nejak omezena; muze se ti stat ze at zkousis jakkoli, porad bude neco zbyvat

Rumburak

S tvrzením

(T1) každou dobře uspořádanou množinu lze injektivně zobrazit na některé kardiníální číslo

asi není problém. Snadno nahlédneme, že platí též obrácené tvrzení

(T2) injektivní obraz kardinálního čísla je množina, kterou lze dobře uspořádat.

Důkaz: Nechť $c$ je kardinální číslo, $f$ injektivní (=prosté) zobrazení definované na množině $c$ , $M$ obraz množiny $c$
při tomto zobrazení. Kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, tudíž je dobře uspořádáno relací $\in$ .
Na množině $M$ definujme relaci
$x<y \,\,\,\,\,<=>\,\,\,\,\, f^{-1}(x) \in f^{-1}(y)$ .
Snadno ověříme, že jde o dobré uspořádání množiny $M$ .

Z uvedeného plyne, že tvrzení

(T3) každá množina je ekvivalentní některému kardinálnímu číslu

je ekvivalentní axiomu výběru.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2009 10:47

Kardinální a ordinální čísla

#2 24. 08. 2009 10:53

Re: Kardinální a ordinální čísla

#3 01. 09. 2009 18:03

Re: Kardinální a ordinální čísla

#4 03. 09. 2009 10:37 — Editoval Rumburak (03. 09. 2009 11:02)

Re: Kardinální a ordinální čísla

Zápatí