Matematické Fórum

No ten trik se bude patrne nazyvat resitelnost kubicke rovnice v oboru realnych cisel. Ta rovnice se lehce vyresit neda. Mam ted nejak malo casu posledni dobou, ale vazne pochybuji o tom, ze tato rovnice patri na stredni skolu do klasickeho vyucovani. Zkus jeste zkontrolovat zadani nez zacnu s resenim, ve kterem se vyskytuji nejake ty treti odmocniny apod.

Marian

No je tu jeste ta moznost, ze je chyba v tisku, ale samozrejme tu rovnici vyresit lze. Nicmene predem upozornuji, ze bude zapotrebi znat, jak vyresit kubickou rovnici, tj. rovnici ve tvaru

ax^3+bx^2+cx+d=0.

Tak takhle se ta vec ma podle me:

tg(x)+sin(2x)=1
(sin(x))/(cos(x)) +2*sin(x)*cos(x)=1                              /vynasobim faktorem cos(x)
sin(x)+2*sin(x)*[cos(x)]^2=cos(x)                                /dale pouziju dvakrat goniometrickou Pythagorovu vetu
sin(x)+2*sin(x)*{1-[sin(x)]^2}=+-√{1-[sin(x)]^2}         /roznasobis zavorku na leve strane a upravis
-2*[sin(x)]^3+3*sin(x)=+-√{1-[sin(x)]^2}                     /umocnis na druhou (pozor neekvivalentni uprava)
4*[sin(x)]^6-12*[sin(x)]^4+9*[sin(x)]^2=1-[sin(x)]^2   /substituce [sin(x)]^2=:t a prevedeni clenu na levou stranu
4*t^3-12*t^2+10*t-1=0.

Dale se pak jiz postupuje tak, ze se spocitaji realne koreny takto vznikle kubicke rovnice. Pozdeji se vratis k substituci, kterou jsem zavedl. Da se zjistit, ze funkce

f(x):=tg(x)+sin(2x)-1,

jejiz nulove body jsou prave koreny puvodni rovnice, ma periodu Pi a je rostouci. Ma take jiste body nespojitosti, coz zpusobuje funkce tangens v zadani. Ta kubicka rovnice ti da jediny realny koren. Musis jeste ukazat, ze je toto skutecne resenim tve rovnice. To neni snadne pro puvodni rovnici. Pokud jsou ty upravy dobre, ktere jsem tady udelal, tak staci overit pouze krok, ve kterem se provedla nejaka neekvivalentni uprava. Pokud zkouska vyjde pro krok pred a po teto uprave, pak to staci. Ale myslim, ze ta zkouska tady nebude dost efektivne proveditelna. Takze uvaz pouze, lze-li provest tu neekvivalentni upravu na nekterem intervalu, ktery obsahuje tveho potencialniho kandidata na reseni (to je ta vec, terou po resubstituci dostanes z kubicke rovnice)! Pak je to hotovo!

Z vlastni zkusenosti vim, ze tento priklad by nevyresila vetsina studentu, kteri v soucasne dobe studuji matematiku na nektere z tuzemskych univerzit. Jsou nejak cim dal horsi. Proto se docela divim, ze takovyto priklad se resi ve foru urcenem pro stredni skolu (nebo dokonce na stredni skole).

Ale pokud jsem ti pomohl, budu rad.

Zdravim.

Viktor napsal(a):

Ahoj!Moc prosím o chvilku Tvého času.Po patnácti letech od ukončení učňáku sem se přihlásil  na dálkovou SŠ a z jedné hodné paní se mi podařilo vyrazit,že u přijímaček po mě budou chtít cosi jako "goniometrie a perimetrie".Už se mi podařilo zjistit,že to má něco společnýho s matematikou,študuju chytrý knížky,ale moc moudrej z toho nejsu.Nemáš náhodou tuchu,co konkrétně by tam po mě mohli chtít?Vypočítat nějaký rovnice?Nebo.....?Dík, Viktor.

Srdecne zdravim. Doporucuji pro zacate kuk sem: http://mucirna.chytrak.cz/. Uplne nejlepsi bude, pokud napises, co to je za skola, pak se to da odvodit presnej.
Trochu vaham, co se mysli jako perimetrie - nebot to je vysetrovaci metoda v ocnim lekarstvi :-). Nebyla to spis trigonometrie? Jinak odvozuji, ze perimetrie muze byt pocitani obsahu a obvodu, coz je trochu neobvykly nazev v mistnich pomerech.
Urcite se tady ozvyvej, doporucim, co budu moci - mam uz jednoho uspesneho maturanta, co sel na SS po 15 letech z ucnaku, ale byla to trochu otrocina - pro neho, cimz rozhodne neodrazuji, ale preji hodne elanu.

Pro Viktora:
Tak to tedy doporucuji si zopakovat vzorecky na vypocet obsahu a obvodu vseho mozneho, umet nakreslit trojuhelnik podle zadani a trochu konstrukcnich uloh,  stejne jako goniometrii a jinak od vseho opravdu trochu - úprava vyrazu, rovnice, mozna procenta.
Teorie postaci to, co je v matematickych tabulkach pro  stredni skolu a na procviceni vrele doporucuji F. Běloun Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ (ono to v nazvu sice ma pro ZS, ale neznam nic lepsiho na opakovani a na nacvik), maji ho v ruznych vydanich v knihovnach.
Vubec nebudes otravovat, kdyz se ozves, naopak poradim, jak budu moc. Hodne zdaru.

8 cos x - sin 2x = 0
8 cos x - 2 sin x cos x = 0
2 cos x (4 - sin x) = 0

Tenhle výraz se bude rovnat nule když:

2 cos x = 0 nebo 4 - sin x =0

Druhá rovnice neklapne nikdy, sin x může být maximálně jedna. První výraz ještě podělíme dvojkou a máme cos x = 0, což nastává pro

PI/2 +2K*PI a 3/2PI + 2K*PI

A pro příště zakládej pro nové dotazy nové téma, díkes ;-)

↑ velkejhoch: Ahoj, možností je určitě víc, já ti nabízím tuto. Možná jste to takhle nedělali, ale aspoň ve škole překvapíš :-)
Vše jsem si nakreslil a přepočítal a pěkně to vychází. Zkus si to :-)

potřebovala bych poradit s tímto příkladem: cos(-u) cos u - sin u sin(-u) jsem kapánek starší a bohužel na to ve škole při dálkovém studiu není moc času a nevím jak na to(bohužel dřív ve škole jsme to neměli).Děkuji

↑ mirra:
Dostat se ke kubické rovnici ve tvém příklade jde snadno (a rychleji, než uvádí Marian)


a ted to všechno vydělíš


Nyní využiješ identity

a dostaneš kubickou rovnici

O žádné podmínky se nemusíš starat. Sice se dělilo cosinem, ale ten musí být nenulový už ze zadání rovnice.

Ta kubická rovnice ale nedává hezký výsledek.