Matematické Fórum

FantomX1 · 20. 06. 2007 10:52

Pre ake x1,x2,x3,x4 kladne nadobuda vyraz x1+x2+x3+x4 minimum, ak plati x1na-2 + x2na-2 + x3na-2 + x4na-2=2. Urcte toto minimum.

Velmi pekne vopred dakujem za pomoc ;)

Kondr

Definice
Hodnotu výrazu
$http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\sqrt[n]{\frac{x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n}{k}}$
nazveme průměrem n-tého stupně čísel x1, x2, ... xk.

Věta
Nech? r, s jsou reálná čísla, r>s. Průměr r-tého stupně daných čísel je větší nebo roven průměru s-tého stupně, rovnost nastává pouze když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

A jak s tím na náš příklad? Známe průměr těch čísel x1, ... ,x4 stupně -2, ten je roven
$http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\sqrt[-2]{\frac{2}{4}}=sqrt{2}$ , ten je roven dolnímu odhadu pr průměr aritmetický. Rovnost nastane, když budou všechna x stejná (budou se rovnat průměru), tedy $http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?x_1=x2=x_3=x_4=\sqrt{2}$ .

Zmíněná nerovnost je speciálním případem Jensenovy nerovnosti.

FantomX1 · 20. 06. 2007 13:51

Aha, takže ak som správne pochopil, aritmetický priemer má vždy menšiu hodnotu ako priemer r-tého stupňa daných čísel.
My položíme sqrt(2) rovné (x1+x2+x3+x4)/4 lebo priemer je najmenší vtedy keď sa rovná priemeru aritmetickému.

Z toho máme, že x1+x2+x3+x4=sqrt(2)*4 a aby sme v predchádzajúcom kroku mohli položi? "priemer r-tého stupňa" rovný aritmetickémá, musí plati?, že x1=x2=x3=x4.

Takže výsledkom bude sqrt(2).

Takže takýto postup je správny pre matematickú analýzu 2?

Vďaka, skvelé fórum. A ľuďia ochotní pomôc?. Ostatných fór je ako maku, ale fórum, ktoré by sa zaoberalo matematikou, ktorá robí väčšine ľudí problámy a je stále zahalená rúškom tajomstva a neochoty vysvetli?, nebolo možné doteraz nájs?. :)

Som každopádne rád, že to mám takto "polopate" a nemusím to hľada? v skriptách, kde by som tomu aj tak najskôr neporozumel.

Matematické Fórum

#1 20. 06. 2007 10:52

Minimum funkcie zavislej od urciteho vyrazu

#2 20. 06. 2007 12:59 — Editoval BrozekP (31. 08. 2010 15:03)

Re: Minimum funkcie zavislej od urciteho vyrazu

#3 20. 06. 2007 13:51

Re: Minimum funkcie zavislej od urciteho vyrazu

Zápatí