Matematické Fórum

mysak · 09. 09. 2009 20:55 — Editoval mysak (09. 09. 2009 21:01)

Ahoj...potřeboval bych prosím vysvětlit skalární součin, moc to nechápu..teda definice jsem četl, vypočítám ho, to ano, ale vlastně pořádně nevím co to znamená a taky by mě zajímalo, jak se dá znázornit...
a taky tohle :
Výpočet skalárního součinu :
Mějme dva vektory : a=(1,2,3), b=(4,5,6). Potom jejich skalární součin bude

co konkrétně vlastně to číslo 32? Dá se tohle nakreslit?

lukaszh · 09. 09. 2009 22:32

↑ mysak:
Pre účely strednej školy ti postačuje vedieť definíciu a skutočnosť, že ak je skalárny súčin dvoch vektorov 0, potom sú kolmé. Je to operácia definovaná pre dva vektory takým spôsobom ako si napísal.

Kondr · 09. 09. 2009 22:37 — Editoval Kondr (09. 09. 2009 22:38)

K čemu to je? Třeba práce je skalární součin dráhy a síly. A podobných fyzikálních aplikací by se našly spousty. Graficky se dá součin $a\cdot b$ znázornit tak, že si nakreslíme vektor $a$ a vektor $c$ , který vznikne z $b$ otočením o devadesát stupňů. Vektory $a,c$ doplníme na rovnoběžník a jeho obsah je roven tomu skalárnímu součinu.

mysak · 10. 09. 2009 06:48

↑ Kondr:

Děkuji...ale teď zas nevím proč otáčím vektorem c :)...potřeboval bych nějakého dobráka, který by mi nějak srozumitelně napsal ty věci o skalárním součinu..zdůvodnit ten vzorec, co jsem psal nahoře a třeba jak ten první souvisí s tímto

lukaszh: Ano, vím, že by mi to stačilo, tu kolmost taky znám, ale prostě bych rád věděl PROČ to tak je...

lukaszh · 10. 09. 2009 08:48

↑ mysak:
Skalárny súčin je operácia definovaná tak ako si uviedol. V praxi sa ti môže vyskytnúť kdekoľvek. Nehľadajme teraz geometriu. Predstav si, že vyrábaš 3 druhy zmrzliny. $m_V$ je množstvo vanilkovej, $m_C$ je množstvo čokoládovej, $m_J$ je množstvo jahodovej. Vanilkovú predávaš za 5 KČ, čokoládovú za 6 KČ a jahodovú za 7KČ. Chceš vypočítať hodnotu zmrzliny spolu. Je to
$5\cdot m_V+6\cdot m_C+7\cdot m_J$
Je to skalárny súčin, kde vektory sú: vektor množstva $\vec{m}=(m_V,m_C,m_J)$ a vektor ceny $\vec{c}=(5,6,7)$ . Je to praktické využitie a nikto v bežnom živote nepoužíva pri počítaní pojem skalárny súčin.

To čo uviedol kolega Kondr, tak aplikáciu hľadaj tiež vo vzorci pre výpočet práce. $\vec{F}\cdot\vec{s}=F_xs_x+F_ys_y+F_zs_z$ .

Ten vzťah, ktorý uvádzaš, vychádza zo vzorca pre uhol dvoch vektorov
$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
Dva vektory sú kolmé, ak zvierajú uhol 90 stupňov. Cosínus 90 stupňov je 0. Teda
$0=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
V menovateli je nenulové číslo, nulové nesmie nastať. Nulový čitateľ znamená nulový skalárny súčin. Teda vektory sú kolmé, keď ich skalárny súčin je nulový.

mysak · 10. 09. 2009 16:11 — Editoval mysak (10. 09. 2009 16:12)

↑ Kondr:
tak jsem si to tak zhruba nakreslil podle tebe, ale nevím, jestli je to správně, snad ano..podle toho, co jsi napsal, by obsahy čtverců, jejichž úhlopříčkami jsou vektory a, b (růžový, modrý) by se měly rovnat obsahu zeleného rovnoběžníku, je to tak?

už nevím, jak pokračovat, výšky rovnoběžníku neznám, takže nevím jak s tím obsahem..obsahy těch dvou čtverců spočítám, jestli se nepletu, mělo by to být 14..délky stran rovnoběžníku jsem určil podle velikosti vektoru |a|, |b| vychází,že |a|=odmocnina z 20, |b|=odmocnina z 13..ale výšku neznám...
je to vůbec správně? a proč mám b otáčet o 90 stupňů?

mysak · 10. 09. 2009 16:36

A právě mě napdlo, jak dojít na ty obsahy...vychází mi to, rovnají se..od obsahu fialového obdélníku, uvnitř kterého je rovnoběžník odečtu obsahy těch 4 trojúhelníků, které doplňují rovnoběžník na obdélník...a je to taky 14, což je teda obsah i čtverců = skalární součin (a1*a2 + b1*b2)

tak co myslíte, dá se to tak zobrazit? akorát teda pořád nevím, proč ten vektor b točím o 90 stupňů :D...no nebo vím, aby mi vznikl rovnoběžník že ano, ale jak by se to dalo odvodit, nebo proč to tak je, nechápu..

Kondr · 10. 09. 2009 16:42

↑ mysak:Protože je v tom vzorečku cosinus. Kdyby tam byl sinus (jako u velikosti vektorového součinu), počítalo by se přímo s rovnoběžníkem určeným vektory a,b. Otočení o 90° "prohazuje sinus a cosinus". Intuitivně -- čím jsou vektory rovnoběžnější, tím větší by měl vyjít jejich součin. Součin umíme zobrazit jen jako obsah a obsah roste naopak tím, čím jsou na sebe kolmější. Jinak v té mé konstrukci není zohledněno znaménko součinu, jen velikost.

jarrro · 10. 09. 2009 16:50

pokúsim sa priblížiť súvislosť medzi "súradnicovým" a "uhlovým" skalárnym súčinom. nech $\vec{a}=\left(a_1;a_2\right)\nl\vec{b}=\left(b_1;b_2\right)$ potom podľa kosínusovej vety platí $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\alpha}\nl\left(a_1-b_1\right)^2+\left(a_2-b_2\right)^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\alpha}\nla_1^2-2a_1b_1+b_1^2+a_2^2-2a_2b_2+b_2^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\alpha}\nla_1b_1+a_2b_2=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\alpha}$

mysak · 10. 09. 2009 16:59

Tak to je super, děkuju, ještě jednou si to projdu a zamyslím..kdyby něco, ještě se poptám:)..takže mi schvalujete, že se takhle dá znázornit skalární součin?..ještě musím upozornit, že to vypadá, že obsahy toho růžového obdélníku jsem počítal a1*a2 a toho modrého b1*b2, ale není to tak, je to jen shoda čísel, protože a2 i b1 =2...počítal jsem to normálně a1*b1 + a2*b2, akorát mi to tam tak hezky vyšlo, tak jsem to udělal tak

Rumburak · 10. 09. 2009 17:15

↑ mysak:
Vzorec
(1) $\vec u \cdot \vec v = ||\vec u||\cdot||\vec v|| \cdot \cos \phi$ ,
kde $\phi$ je úhel, ktrerý tyto vektory svírají, se snadno odvodí pro jednotkové rovinné vektory. V tom případě lze totiž vyjádřit
$\vec u = (u_1,\, u_2)=(\cos \alpha, \,\sin \alpha)$ , kde $\alpha$ je úhel odpovídající argumentu komplexního čísla $u_1 + u_2 i$ ,
obdobně $\vec v = (v_1,\, v_2)=(\cos \beta, \,\sin \beta)$ .
Potom
$\vec u \cdot \vec v = \cos \alpha \,\cos \beta \,+\, \sin \alpha \,\sin \beta = \cos\,(\alpha -\beta) = \cos\,|\alpha -\beta| = \cos \phi$ .
Snadno se odtut provede též přechod ke vzorci (1) pro rovinné vektory obecné velikosti.
Přechod ke vzorci (1) pro prostorové vektory se provede pomocí vhodné isometrické transformace souřadnic (tak, aby se v nové soustavě
vynulovala jejich třetí souřadnice), což je ale spíše již záležitostí VŠ matematiky.

mysak · 10. 09. 2009 17:44

↑ Kondr:
no jo, stejně to s tím otočením pořád nechápu..ve funkcích mám zatím dost mezery..myslel jsem že z cos |a| * |b| by mi vznikl rovnoběžník jako u toho vektorového součinu

mysak · 10. 09. 2009 19:17

Aha tak už snad tuším..podíval jsem se na wikipedii na obsah rovnoběžníku, kde je to přes sinus, což tady nemůžu použít, protože neznám protilehlou...sice zatím nevím, jak je to s tím otáčením sinu na kosinus, ale mrknu na ty funkce a snad si to ujasním

LukasM · 10. 09. 2009 19:21

↑ mysak:
Mrkni na grafy těch funkcí, a všimni si co zajímavýho se stane, když je vůči sobě posuneš o pi/2.

mysak · 10. 09. 2009 19:50

tak už i to vím..stačilo si vzpomenout na grafy sinu a kosinu..takže děkuju :)

Matematické Fórum

#1 09. 09. 2009 20:55 — Editoval mysak (09. 09. 2009 21:01)

Skalární součin vektorů

#2 09. 09. 2009 22:32

Re: Skalární součin vektorů

#3 09. 09. 2009 22:37 — Editoval Kondr (09. 09. 2009 22:38)

Re: Skalární součin vektorů

#4 10. 09. 2009 06:48

Re: Skalární součin vektorů

#5 10. 09. 2009 08:48

Re: Skalární součin vektorů

#6 10. 09. 2009 16:11 — Editoval mysak (10. 09. 2009 16:12)

Re: Skalární součin vektorů

#7 10. 09. 2009 16:36

Re: Skalární součin vektorů

#8 10. 09. 2009 16:42

Re: Skalární součin vektorů

#9 10. 09. 2009 16:50

Re: Skalární součin vektorů

#10 10. 09. 2009 16:59

Re: Skalární součin vektorů

#11 10. 09. 2009 17:15

Re: Skalární součin vektorů

#12 10. 09. 2009 17:44

Re: Skalární součin vektorů

#13 10. 09. 2009 19:17

Re: Skalární součin vektorů

#14 10. 09. 2009 19:21

Re: Skalární součin vektorů

#15 10. 09. 2009 19:50

Re: Skalární součin vektorů

Zápatí